Cycloïde

Le mot vient du grec κυκλος (« cercle, roue ») et du radical -ειδος (« en forme de, semblable à »), bien que cette courbe n'ait pas été connue des Grecs. Selon Torricelli[2], son maître Galilée aurait été le premier à étudier cette courbe et à lui donner ce nom, en 1599, mais d'après John Wallis, sa construction aurait été mentionnée par Charles de Bovelles[3], et même encore auparavant au XV^e siècle par Nicolas de Cues alors qu'il s’essayait à la quadrature du cercle[4]. Moritz Cantor dément toutefois cette dernière assertion et confirme que Bovelles est le premier à mentionner le problème de la courbe décrite par un point d'une roue roulant sur un plan[5].

Toujours est-il qu’en 1626, Mersenne en reprit l'étude et essaya, sans succès, de déterminer l'aire sous une arche de cycloïde. « Galilée l'avait étudié auparavant : il s'était même occupé de déterminer, par une curieuse méthode empirique, le rapport de la surface d'une arche de cycloïde à la surface du cercle qui l'engendre : pour cela, il avait réalisé, en métal, aussi parfaitement que possible, les deux surfaces, et les avait pesées ; il trouva que l'aire de l'arche vaut trois fois celle du cercle générateur, résultat exact, malgré la bizarrerie du procédé[6]. » Il faudra attendre 1634 pour que Roberval, un membre de l'académie de Mersenne, démontre, mathématiquement cette fois, que cette aire est égale à trois fois l'aire du cercle qui l'a engendrée. Descartes, qui fut consulté sur ce calcul, le trouva intéressant mais trivial.

La cycloïde et le calcul de ses propriétés furent alors l'objet de défis constants entre mathématiciens, si bien qu'elle fut surnommée « l'Hélène des géomètres[7]. » Après Descartes, Pascal (sous le pseudonyme de Dettonville) offrit un prix à qui résoudrait deux problèmes liés à la cycloïde et au mouvement du pendule. En 1658, Christopher Wren démontra que la longueur d'une arche de cycloïde est égale à quatre fois le diamètre du cercle qui l'a générée. En 1656-1659, Christian Huygens étudie ses propriétés isochrones et les applique à la conception d'une horloge dans laquelle le pendule est suspendu entre deux lames correctement recourbées (« joues ») pour obtenir l'isochronisme du battement, préalable indispensable pour permettre la construction d'horloges marines et donc la détermination du « secret des longitudes »[8]. Enfin, ses propriétés brachistochrones furent étudiées à partir de 1696 par Jean Bernoulli, puis par Isaac Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz, Jacques Bernoulli et le marquis L'Hôpital. Il s'agissait d'un des premiers problèmes de variations, et son étude fut le point de départ de l'élaboration du calcul des variations.

La courbe peut être définie paramétriquement par l'équation suivante :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x(\theta )=R(\theta -\sin \ \theta )\\y(\theta )=R(1-\cos \ \theta )\end{matrix}}\right.}$,

ce qui correspond (sur un intervalle convenable) à l'équation cartésienne

${\displaystyle x/R=\arccos(1-y/R)-\sin(\arccos(1-y/R))=\arccos(1-y/R)-{\sqrt {2y/R-y^{2}/R^{2}}}}$.

• On peut également la définir par une équation intrinsèque :

${\displaystyle R_{c}^{2}+s^{2}=16R^{2}}$, où ${\displaystyle R_{c}\,}$ représente le rayon de courbure, ${\displaystyle s\,}$ l'abscisse curviligne et ${\displaystyle R\,}$ le rayon du cercle.

• Lorsque le point mobile n'est pas situé sur le cercle mais à l'extérieur ou à l'intérieur de celui-ci, on parle alors de cycloïde allongée ou raccourcie, qui sont toutes deux des cas particuliers de trochoïde.
• Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, sur la façon de déterminer la tangente à la cycloïde, par Guillaume de L'Hôpital.
• En cosmologie, la variation de la taille d'un modèle d'univers fini de Friedmann en fonction de son âge est représentée par une cycloïde.
• Paradoxe de la roue d'Aristote

• Marie-Laure Prévost, « Un théorème de géométrie de Blaise Pascal découvert dans le manuscrit des Pensées », Chroniques de la BnF, n^o 56, nov.-décembre 2010, p. 24
• « Cycloïde », sur mathcurve.com
• G. Villemin, « Cycloïde », Courbes étonnantes
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