Symbole de Hilbert

Les trois propriétés suivantes résultent directement de la définition, en choisissant des solutions appropriées de l'équation diophantienne ci-dessus :

1. si a est un carré, alors (a, b) = 1 pour tout b ;
2. pour tous a, b dans K*, (a, b) = (b, a) ;
3. pour tout a dans K* tel que a – 1 soit aussi dans K*, on a (a, 1 – a) = 1.

La (bi)multiplicativité, i.e. pour tous a, b₁ et b₂ dans K* (a, b₁b₂) = (a, b₁)(a, b₂) est, quant à elle, plus difficile à démontrer et nécessite le développement de la théorie du corps de classe local.

La propriété 3 montre que le symbole de Hilbert est un exemple de symbole de Steinberg et donc se factorise par le deuxième groupe de K-théorie de Milnor K₂^M(K) = K* ⊗ K* / 〈 a ⊗ (1 – a), a ∈ K*\{1} 〉. D'après la propriété 1, il se factorise même par K₂^M(K)/2. C'est le premier pas vers la conjecture de Milnor.

Si K est de caractéristique différente de 2, le symbole de Hilbert classifie l'algèbre de quaternions sur K de base (1, i, j, k) dont la multiplication est définie par i² = a, j² = b, ij = –ji = k : cette algèbre est isomorphe à M₂(K) si (a, b) = 1 et sinon, c'est un corps de quaternions H, dont la classe dans le groupe de Brauer de K est d'ordre 2 car H⊗H ≃ M₄(K).

Soient v une place sur le corps ℚ des rationnels et ℚ_v le complété correspondant de ℚ (c'est-à-dire le corps des nombres p-adiques si v est la valuation associée à un nombre premier p, et le corps des réels si v est la « place infinie »).

Pour deux entiers a, b vus comme éléments de ℚ_v, soit (a, b)_v la valeur du symbole de Hilbert.

Sur les réels, (a, b)_∞ vaut +1 si a ou b est positif et –1 s'ils sont tous deux négatifs.

Sur les p-adiques, en écrivant ${\displaystyle a=p^{\alpha }u{\text{ et }}b=p^{\beta }v,}$ où u et v sont des entiers non divisibles par p, on a :

• si p est impair, ${\displaystyle (a,b)_{p}=(-1)^{\alpha \beta \epsilon (p)}\left({\frac {u}{p}}\right)^{\beta }\left({\frac {v}{p}}\right)^{\alpha },\mathrm {~o{\grave {u}}~} \epsilon (p)=(p-1)/2}$et où l'expression fait intervenir les symboles de Legendre ;
• si p = 2,${\displaystyle (a,b)_{2}=(-1)^{\epsilon (u)\epsilon (v)+\alpha \omega (v)+\beta \omega (u)},\mathrm {~o{\grave {u}}~} \omega (x)=(x^{2}-1)/8.}$

La loi de réciprocité quadratique équivaut à la formule

${\displaystyle \prod _{\rm {v}}(a,b)_{\rm {v}}=1,}$

qui a un sens car (a, b)_v = 1 pour toutes les places v sauf un nombre fini.

Le symbole de Hilbert sur un corps K définit une application à valeurs dans son groupe de Brauer : ${\displaystyle (\cdot ,\cdot ):K^{*}/K^{*2}\times K^{*}/K^{*2}\to {\rm {Br}}(K).}$ Le noyau de cette application, constitué des éléments a tels que (a, b) = 1 pour tout b, est le radical de Kaplansky[2] de K. Ce sous-groupe de K*/K*² est égal au groupe tout entier si et seulement si[2] K n'est pas formellement réel et si son u-invariant (en) est au plus égal à 2 (c'est-à-dire si en dimension supérieure ou égale à 3, aucune forme quadratique n'est définie). Les corps K dont le radical, à l'opposé, est réduit à K*², sont appelés les corps de Hilbert[3]^,[4].

Le symbole de Hilbert est

• (multiplicativement) bilinéaire : (ab, c) = (a, c)(b, c) et (a, bc) = (a, b)(a, c),
• antisymétrique : (a, b) = (b, a)⁻¹,
• non dégénéré : (a, b) = 1 pour tout b si et seulement si a est une puissance n-ième dans K*.

Il détecte les normes (d'où son nom de symbole de norme résiduelle[5]) : (a, b) = 1 si et seulement si a est une norme dans K(ⁿ√b).

Il a les « propriétés de symbole » : (a, 1 – a) = 1 et (a, –a) = 1.

La loi de réciprocité de Hilbert établit que si a et b appartiennent à un corps de nombres K contenant les racines n-ièmes de l'unité, alors

${\displaystyle \prod _{\rm {v}}(a,b)_{\rm {v}}=1,}$

où, comme plus haut, le produit est pris sur toutes les places finies et infinies v de K et (–, –)_v désigne le symbole de Hilbert du complété K_v.

La preuve moderne de cette loi de réciprocité est un corollaire de celle d'Artin.

Si, à nouveau, K est un corps de nombres contenant les racines n-ièmes de l'unité, et si de plus p est un idéal premier ne divisant pas n, π un élément premier du localisé en p et a est premier à p, alors le symbole de puissance résiduelle (en) ${\displaystyle {\binom {a}{p}}}$ est relié au symbole de Hilbert par

${\displaystyle {\binom {a}{p}}=(\pi ,a)_{p}.}$

Il s'étend aux idéaux fractionnaires par multiplicativité, et aux éléments de K en posant

${\displaystyle {\binom {a}{b}}={\binom {a}{(b)}},}$

où (b) est l'idéal principal engendré par b. La loi de réciprocité de Hilbert entraîne alors la loi de réciprocité suivante pour le symbole de puissance résiduelle, pour a et b premiers entre eux et avec n :

${\displaystyle {\binom {a}{b}}={\binom {b}{a}}\prod _{p|n,\infty }(a,b)_{p}.}$