Système d'équations linéaires

Un système de la forme :

${\displaystyle Ax=0}$

est appelé système d'équations linéaires homogènes. Tous les systèmes homogènes admettent au moins une solution :

${\displaystyle x_{1}=0\$ ;\ x_{2}=0\ ;\ \dots \ ;\ x_{n}=0}

Cette solution est la solution nulle ou triviale.

L'équation ${\displaystyle 4x+2y=-1}$ a une infinité de solutions. Si l'on prend pour ${\displaystyle x}$ la valeur ${\displaystyle 1}$, on obtient :

• ${\displaystyle 4\times 1+2y=-1}$ ;
• ${\displaystyle 4+2y=-1}$ ;
• ${\displaystyle 2y=-5}$ ;
• ${\displaystyle y={\dfrac {-5}{2}}}$.

Plus généralement, cette équation détermine la valeur de ${\displaystyle y}$ pour n'importe quel choix d'une valeur de ${\displaystyle x}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}4x+2y=-1&\Leftrightarrow 2y=-1-4x\\&\Leftrightarrow y={\dfrac {-1-4x}{2}}\\&\Leftrightarrow y=-0{,}5-2x.\end{aligned}}}$

Celle-ci va nous permettre d'établir des théorèmes utiles pour la suite.

Chaque équation du système ${\displaystyle (S)}$ définit une fonction affine, et est donc représentée par une droite dans un repère. Or :

• les coordonnées du point d'intersection des deux droites représentent la solution de ${\displaystyle (S)}$ ;
• deux droites ont :
  • soit un unique point d'intersection ;
  • soit aucun point d'intersection ;
  • soit une infinité de points d'intersection.

D'où le théorème suivant :

Théorème 1 : Le système ${\displaystyle (S)}$ a :

• soit une unique solution ;
• soit aucune solution ;
• soit une infinité de solutions.

On démontre aussi le théorème suivant :

Théorème 2 : Le système ${\displaystyle (S)}$ admet une seule solution si, et seulement si, le nombre ${\displaystyle ad-bc}$ est non nul.

On appelle ${\displaystyle ad-bc}$ le déterminant du système ${\displaystyle (S)}$.

Exemple de résolution graphique : Soit le système

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}4x+2y=-1\\3x-y=2.\end{matrix}}\right.}$

La première équation équivaut à ${\displaystyle y=-0{,}5-2x}$ (voir supra).

La deuxième équation équivaut à :

• ${\displaystyle 3x-y=2}$ ;
• ${\displaystyle -y=2-3x}$ ;
• ${\displaystyle y=-(2-3x)=3x-2}$.

En traçant les droites d'équations respectives ${\displaystyle y=-0{,}5-2x}$ et ${\displaystyle y=3x-2}$, on voit que leur point d'intersection est ${\displaystyle (0{,}3,-1{,}1)}$. La solution du système est ${\displaystyle x=0{,}3}$ et ${\displaystyle y=-1{,}1}$.

L'élimination de Gauss-Jordan, mentionnée ci-dessous, s'applique à tous ces systèmes, même si les coefficients viennent d'un corps arbitraire.

Il existe deux méthodes a priori différentes, mais qui reposent sur le même principe de base : élimination d'une inconnue. Détaillons-les sur un exemple.

Reprenons par exemple le système :${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}4x+2y=-1\\3x-y=2\end{matrix}}\right.}$

La première équation permet d'exprimer ${\displaystyle y}$ en fonction de ${\displaystyle x}$. Plus précisément, elle est équivalente à ${\displaystyle y=-0{,}5-2x}$ (voir supra). Remplaçons donc ${\displaystyle y}$ par ${\displaystyle -0{,}5-2x}$ dans la deuxième équation. On a :

${\displaystyle {\begin{aligned}3x-(-0{,}5-2x)=2&\Leftrightarrow 3x+0{,}5+2x=2\\&\Leftrightarrow 5x+0{,}5=2\\&\Leftrightarrow 5x=1{,}5\\&\Leftrightarrow x={\dfrac {1{,}5}{5}}=0{,}3.\end{aligned}}}$

Le système est donc équivalent à :

${\displaystyle {\begin{cases}y=-0{,}5-2x\\x=0{,}3\end{cases}}.}$

En remplaçant ${\displaystyle x}$ par ${\displaystyle 0{,}3}$ dans la première équation, on obtient : ${\displaystyle y=-0{,}5-2\times 0{,}3=-0{,}5-0{,}6=-1{,}1}$.

Le système a donc une unique solution : le couple ${\displaystyle (x,y)=(0{,}3,-1{,}1)}$.

Cette méthode est aussi appelée « méthode par combinaison linéaire ».

Exemple : Reprenons le système

${\displaystyle {\begin{cases}4x+2y&=-1\\3x-y&=2\end{cases}}}$

On obtient un système équivalent en conservant la première ligne et en multipliant la seconde par 2 puis en lui ajoutant la première, de façon à éliminer ${\displaystyle y}$. Le système devient :

${\displaystyle {\begin{cases}4x+2y&=-1\\2\times 3x-2\times y&=2\times 2\end{cases}}}$, c'est-à-dire ${\displaystyle {\begin{cases}4x+2y&=-1\\6x-2y&=4\end{cases}}}$

puis (par addition) :

${\displaystyle {\begin{cases}4x+2y&=-1\\10x&=3\end{cases}}}$, c'est-à-dire ${\displaystyle {\begin{cases}4x+2y&=-1\\x&={\dfrac {3}{10}}.\end{cases}}}$

Remplaçons ${\displaystyle x}$ par ${\displaystyle {\dfrac {3}{10}}=0{,}3}$ dans la première ligne. Elle devient :

• ${\displaystyle 4\times 0{,}3+2y=-1}$ ;
• ${\displaystyle 1{,}2+2y=-1\,}$ ;
• ${\displaystyle 2y=-1-1{,}2=-2{,}2}$ ;
• ${\displaystyle y={\dfrac {-2{,}2}{2}}=-1{,}1}$.

Le système initial est donc équivalent à

${\displaystyle {\begin{cases}y&=-1{,}1\\x&=0{,}3\end{cases}}}$

On retrouve ainsi qu'il a une unique solution : le couple ${\displaystyle (0{,}3,-1{,}1)}$.

D'une manière générale, un système de la forme

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}ax+by=e\\cx+dy=f\end{matrix}}\right.}$

dont le déterminant ${\displaystyle ad-bc}$ est non nul a pour unique solution :

${\displaystyle x={{\begin{vmatrix}e&b\\f&d\end{vmatrix}} \over {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={ed-bf \over ad-bc},\quad y={{\begin{vmatrix}a&e\\c&f\end{vmatrix}} \over {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={af-ec \over ad-bc}.}$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x+10y-3z=5\quad [1]\\2x-y+2z=2\quad [2]\\-x+y+z=-3\quad [3]\end{matrix}}\right.}$.

Pour résoudre ce système de 3 équations à 3 inconnues, on isole une inconnue dans une des équations. Dans ce système, on isole l'inconnue x dans l'équation [1]

[1] : ${\displaystyle x=-10y+3z+5}$.

Maintenant on remplace l'inconnue ${\displaystyle x}$ dans les équations [2] et [3], qui donne un système de 2 équations à 2 inconnues à résoudre.

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}2(-10y+3z+5)-y+2z=2[2]\\-(-10y+3z+5)+y+z=-3[3]\end{matrix}}\right.}$.

Après avoir trouvé ${\displaystyle y}$ et ${\displaystyle z}$, on les remplace dans l'équation [1] pour trouver ${\displaystyle x}$.

${\displaystyle {\begin{cases}x&-&3y&+&10z&=5&[1]\\2x&+&2y&-&z&=2&[2]\\-x&+&y&+&z&=-3&[3]\end{cases}}}$

Pour résoudre ce système, on peut éliminer ${\displaystyle x}$ par exemple dans les équations [2] et [3] en les remplaçant par les équations [2'] := –2 × [1] + [2] et [3'] := [1] + [3]. Puisque cette transformation est réversible ([2] = [2'] + 2 × [1] et [3] = [3'] – 1), le système initial est équivalent au nouveau système

${\displaystyle {\begin{cases}x&-&3y&+&10z&=5&[1]\\&&8y&-&21z&=-8&[2']\\&&-2y&+&11z&=2&[3']\end{cases}}}$

Il suffit alors d'éliminer une autre inconnue, ${\displaystyle y}$ par exemple dans l'équation [3'], en remplaçant cette dernière (là encore, de façon réversible) par 4 × [3'] + [2']. Le système est donc équivalent au système suivant, qui est échelonné (et même triangulaire) :

${\displaystyle {\begin{cases}x&-&3y&+&10z&=5&[1]\\&&8y&-&21z&=-8&[2']\\&&&&23z&=0&[3'']\end{cases}}}$

L'équation [3"] détermine ${\displaystyle z}$ qui, remplacé dans l'équation [2'], détermine ${\displaystyle y}$. Ces deux valeurs, remplacées dans l'équation [1], déterminent ${\displaystyle x}$.

Cette méthode se généralise à des systèmes comportant davantage d'équations et davantage d'inconnues et prend le nom de méthode du pivot de Gauss.