L-Système

• Variable : v = {F}
• Constantes : S = {+, −}
• Axiome : w = F
• Règle : (F → F+F−F−F+F)

Courbe_de_Koch
{
angle 90
axiom F
F=F+F−F−F+F
}

angle 90 détermine que l'on tourne de 90° avec les symboles + et -.

Voici le résultat sur trois générations :

• n=0:

F

• n=1:

F+F-F-F+F

• n=2:

F+F-F-F+F + F+F-F-F+F - F+F-F-F+F - F+F-F-F+F + F+F-F-F+F

• n=3:

F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F +

F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F -

F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F -

F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F +

F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F

Cette « turtle interpretation » peut être exploitée en trois dimensions grâce aux idées de Harold Abeson et Andrea diSessa dans leur ouvrage commun, « Turtle geometry : the computer as a medium for exploring mathematic ». Trois vecteurs liés à la tortue permettent de spécifier son prochain changement d'orientation :

${\displaystyle {\vec {H}}}$, ${\displaystyle {\vec {L}}}$, ${\displaystyle {\vec {U}}}$ tels que ${\displaystyle {\vec {H}}\times {\vec {L}}={\vec {U}}}$ (produit vectoriel)

• ${\displaystyle {\vec {H}}}$ pour turtle heading. Il s'agit du regard de la tortue.
• ${\displaystyle {\vec {U}}}$ pour up. Le « haut » de la tortue. C'est la direction qui sort de la tortue par son dos (i.e. par le côté bombé de sa carapace).
• ${\displaystyle {\vec {L}}}$ pour left. Il s'agit de la gauche de cette tortue.

La rotation de la tortue se note alors :

${\displaystyle [{\vec {H}}'{\vec {L}}'{\vec {U}}']=[{\vec {H}}{\vec {L}}{\vec {U}}]R}$ où R est une matrice 3×3.

Les rotations d'un angle α autour des axes ${\displaystyle {\vec {U}}}$, ${\displaystyle {\vec {L}}}$ ou ${\displaystyle {\vec {H}}}$ sont respectivement représentées par les matrices :

${\displaystyle RU(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )&\sin(\alpha )&0\\-\sin(\alpha )&\cos(\alpha )&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle RL(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )&0&-\sin(\alpha )\\0&1&0\\\sin(\alpha )&0&\cos(\alpha )\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle RH(\alpha )={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\0&\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\end{pmatrix}}}$

Les symboles prennent maintenant la signification suivante :

• + : tourner à gauche d'un angle α, autour de l'axe ${\displaystyle {\vec {U}}}$, i.e. en utilisant la matrice de rotation RU(α) ;
• − : tourner à droite d'un angle α, autour de l'axe ${\displaystyle {\vec {U}}}$, i.e. en utilisant la matrice de rotation RU(−α) ;
• & : pivoter vers le bas d'un angle α, autour de l'axe ${\displaystyle {\vec {L}}}$, i.e. en utilisant la matrice de rotation RL(α) ;
• ∧ : pivoter vers le haut d'un angle α, autour de l'axe ${\displaystyle {\vec {L}}}$, i.e. en utilisant la matrice de rotation RL(−α) ;
• / : basculer à droite d'un angle α, autour de l'axe ${\displaystyle {\vec {H}}}$, i.e. en utilisant la matrice de rotation RH(α) ;
• \ : basculer à gauche d'un angle α, autour de l'axe ${\displaystyle {\vec {H}}}$, i.e. en utilisant la matrice de rotation RH(−α) ;
• | : tourner autour d'elle-même de 180°, i.e. faire demi-tour, en utilisant la matrice de rotation RU(180◦).

• Variable : V = {F, X}
• Constantes : S = {+, −, [, ]}
• Axiome : w = X
• Règles : (X → F[+X]F[−X]+X) ^ (F → FF)

Notation symbolique : Plante { angle 20 axiom X ; X=F[+X]F[−X]+X; F=FF }

angle 20 détermine de quel angle on tourne avec les symboles + et -. Voici le résultat sur deux générations :

• n=0, X
• n=1, F[+X]F[−X]+X
• n=2, FF[+F[+X]F[−X]+X]FF[−F[+X]F[−X]+X]+F[+X]F[−X]+X

• Variable : V = {F, X}
• Constantes : S = {+, −, [, ]}
• Axiome : w = X
• Règles : X → F[++X]F[−X]+X ; X → F[+X]F[−X]+X ; F → FF

Les règles X → F[++X]F[−X]+X et X → F[+X]F[−X]+X sont appliquées avec une probabilité 0,2 et 0,8 respectivement.

Voici un résultat possible sur deux générations :

• n=0, X
• n=1, F[++X]F[−X]+X
• n=2, FF[++F[+X]F[−X]+X]FF[−F[+X]F[−X]+X]+F[+X]F[−X]+X

Voici un autre résultat possible sur deux générations :

• n=0, X
• n=1, F[+X]F[−X]+X
• n=2, F[+F[++X]F[−X]+X]F[−F[++X]F[−X]+X]+F[++X]F[−X]+X

Il y a 2² = 4 possibilités possibles sur deux générations, avec des probabilités différentes.

Ce L-système simule la propagation d'un signal acropète dans une structure de branches qui ne se développe pas.

• Variable : V = {A, B}
• Constantes : S = {+, −, [, ]}
• Axiome : w = B[+A]A[−A]A[+A]A
• Règles : (B < A → B)

Le symbole < de la règle s'interprète comme suit : si un symbole A est précédé d'un symbole B, alors ce A devient un B à la génération suivante, sinon il reste inchangé. Dans cette évaluation, les constantes sont ignorées.

Voici la propagation du signal sur trois générations; les signes + et - sont ignorés dans la prise en compte des règles :

• n=0, B[+A]A[−A]A[+A]A
• n=1, B[+B]B[−A]A[+A]A
• n=2, B[+B]B[−B]B[+A]A
• n=3, B[+B]B[−B]B[+B]B

On constate que chaque branche est progressivement atteinte par le signal acropète qui permet aux fleurs les plus hautes de s'ouvrir. À chaque génération, deux nouvelles branches reçoivent le signal, en effet, puisque l'on sauvegarde la position, que l'on dessine A puis qu'on restitue la position et que l'on redessine un A, cela signifie que ces deux A ont la même base, donc la même branche précède les deux.

Ce L-système simule la propagation d'un signal basipète dans une structure de branches qui ne se développe pas.

• Variable : V = {A, B}
• Constantes : S = {+, −, [, ]}
• Axiome : w = A[+A]A[−A]A[+A]B
• Règles : (A > B → B)

A est une branche qui n'a pas encore reçu le signal, et B en est une qui l'a reçu. La règle se comprend ainsi : si un symbole A est suivi d'un symbole B, alors ce A devient un B à la génération suivante.

Voici la propagation du signal sur trois générations, sachant que les signes + et - seront ignorés dans la prise en compte des règles :

• n=0, A[+A]A[−A]A[+A]B
• n=1, A[+A]A[−A]B[+B]B
• n=2, A[+A]B[−B]B[+B]B
• n=3, B[+B]B[−B]B[+B]B

On constate que chaque branche est progressivement atteinte par le signal basipète qui permet aux fleurs à l'inflorescence en ombrelle ou en capitule de fleurir de manière centrifuge.

L'écriture éventuelle d'une règle de la forme (B < A < B → B) signifie que si une branche A est entourée par des branches B alors elle deviendra une branche B à la prochaine génération. Il est aussi possible d'écrire plusieurs règles, pour plusieurs situations.

• Grzegorz Rozenberg et Arto Salomaa, The Mathematical Theory of L-Systems, Academic Press, 1980
• (en) « The Algorithmic beauty of plants » de Przemyslaw Prusinkiewicz et Aristid Lindenmayer, 1990
• Grzegorz Rozenberg et Arto Salomaa, The Book of L, Springer-Verlag, 2012 (réimpression de la première édition de 1986), 492 p. (ISBN 978-3-642-95488-7)
• (en) Przemyslaw Prusinkiewicz et James Hanan, Lindenmayer Systems, Fractals, and Plants, 1992

• Karel Klouda et Štěpán Starosta, « Characterization of circular D0L-systems », Theoretical Computer Science, vol. 790,‎ 2019, p. 131–137 (DOI 10.1016/j.tcs.2019.04.021).

• Charlie Chernohorsky, Galerie de fractales, 2004.
• (en) Interprétation graphique et musicale des L-systems. (Application Java)
• LOGO et les L-systèmes

• (en) Publications du Biological Modeling and Visualization research group
• (en) Department Ecoinformatics, Biometrics and Forest Growth at the Georg-August University of Göttingen Growth grammars

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