Système de Thue

Un système de semi-Thue est un couple ${\displaystyle (\Sigma ,R)}$, où ${\displaystyle \Sigma }$ est un alphabet supposé en général fini, et où ${\displaystyle R}$ est une relation binaire finie entre mots sur ${\displaystyle \Sigma }$, donc une partie finie ${\displaystyle R\subseteq \Sigma ^{*}\times \Sigma ^{*}.}$ Un élément ${\displaystyle (u,v)\in R}$ est une règle de réécriture et est habituellement écrite sous la forme ${\displaystyle u\rightarrow v}$. Si la relation ${\displaystyle R}$ est symétrique, c'est-à-dire si ${\displaystyle (u,v)\in R}$ implique ${\displaystyle (v,u)\in R}$, le système est appelé un système de Thue.

Les règles de réécriture sont étendues aux mots de ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ en permettant le remplacement de facteurs selon les règles de ${\displaystyle R}$. Formellement la relation est étendue par :

${\displaystyle s\rightarrow _{R}t}$ si et seulement il existe ${\displaystyle x,y,u,v\in \Sigma ^{*}}$ tels que ${\displaystyle s=xuy}$, ${\displaystyle t=xvy}$, et ${\displaystyle u\rightarrow v\in R}$.

On rencontre aussi la notation ${\displaystyle s\Rightarrow t}$, ce qui permet d'omettre l'indice ${\displaystyle R}$. La relation de réécriture, notée ${\displaystyle \rightarrow _{R}^{*}}$, est la clôture réflexive et transitive de la relation ${\displaystyle \rightarrow _{R}}$; elle est définie par une suite d'étapes

${\displaystyle s_{0}\to _{R}s_{1}\to _{R}s_{2}\to _{R}\cdots }$

Dans un système de semi-Thue, la relation ${\displaystyle \rightarrow _{R}^{*}}$ est compatible avec l'opération de multiplication (concaténation) du monoïde libre ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$, en d'autres termes ${\displaystyle x\rightarrow _{R}^{*}y}$ implique ${\displaystyle uxv\rightarrow _{R}^{*}uyv}$ pour tous les mots ${\displaystyle u,v\in \Sigma ^{*}}$. Comme ${\displaystyle \rightarrow _{R}^{*}}$ est un préordre, le couple ${\displaystyle \left(\Sigma ^{*},\cdot ,\rightarrow _{R}^{*}\right)}$ forme un préordre monoïdal.

De même, la clôture réflexive transitive et symétrique de ${\displaystyle \rightarrow _{R}}$, parfois dénotée par ${\displaystyle {\overset {*}{\underset {R}{\longleftrightarrow }}}}$, est une congruence, c'est-à-dire une relation d'équivalence compatible avec la concaténation. Cette congruence est appelée congruence de Thue engendrée par ${\displaystyle R}$. Si le système de semi-Thue est symétrique, donc un système de Thue, la congruence coïncide avec la relation de réécriture.

Comme ${\displaystyle {\overset {*}{\underset {R}{\longleftrightarrow }}}}$ est une congruence, on peut définir le monoïde quotient ${\displaystyle M_{R}=\Sigma ^{*}/{\overset {*}{\underset {R}{\longleftrightarrow }}}}$ du monoïde libre ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ par la congruence de Thue, comme dans tout monoïde. Si un monoïde ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ est isomorphe à ${\displaystyle M_{R}}$, le système de semi-Thue ${\displaystyle (\Sigma ,R)}$ est une présentation du monoïde ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$. Par exemple, le système ${\displaystyle R=\{ab\to \varepsilon ,ba\to \varepsilon \}}$ est une présentation du groupe libre à un générateur ; le système réduit à la seule règle ${\displaystyle ab\to \varepsilon }$ est une présentation du demi-groupe bicyclique. De fait, on a[2] : Tout monoïde admet une présentation de la forme ${\displaystyle (\Sigma ,R)}$ pour un système de semi-Thue, éventuellement sur un alphabet infini.

Le problème du mot pour un système de semi-Thue se formule comme suit : Étant donné un système de semi-Thue ${\displaystyle (\Sigma ,R)}$ et deux mots ${\displaystyle u,v\in \Sigma ^{*}}$, peut-on transformer ${\displaystyle u}$ en ${\displaystyle v}$ en appliquant des règles de ${\displaystyle R}$ ? Ce problème est indécidable. La première preuve est de Emil Post[3]. Une autre, pratiquement en même temps, par A. Markov[4]. Les preuves sont discutées dans le livre de Davis[5].

Un système de semi-Thue peut être vu comme un système de réécriture de termes dont les mots sont des termes d'arité 1[6]. Un système de semi-Thue est aussi un cas particulier d'un système de Post, et réciproquement tout système de Post peut être transformé en un système de semi-Thue. Les deux formalismes sont Turing-complets, et sont donc équivalents aux grammaires de type 0 de la hiérarchie de Chomsky qui parfois sont appelées grammaires de semi-Thue[7]. Une grammaire formelle diffère d'un système de semi-Thue par la séparation de l’alphabet en symboles terminaux et non terminaux et la présence d'un axiome. On rencontre aussi la définition d'un système de semi-Thue comme triple ${\displaystyle (\Sigma ,A,R)}$, où ${\displaystyle A\subseteq \Sigma ^{*}}$ est appelé l'« ensemble des axiomes »[8].

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Semi-Thue systems » (voir la liste des auteurs).

Monographies

• Ronald V. Book (en) et Friedrich Otto, String-rewriting Systems, Springer, 1993, 189 p. (ISBN 0-387-97965-4).
• Matthias Jantzen, Confluent string rewriting, Birkhäuser, 1988, 126 p. (ISBN 0-387-13715-7).
• (en) Franz Baader et Tobias Nipkow, Term rewriting and all that, Cambridge (GB), Cambridge University Press, 1999, 316 p. (ISBN 0-521-77920-0, lire en ligne).

Manuels

• Martin Davis, Ron Sigal et Elaine J. Weyuker, Computability, Complexity, and Languages : Fundamentals of Theoretical Computer Science, Academic Press, 1994, 2^e éd., 609 p. (ISBN 0-12-206382-1, lire en ligne), chapitre 7
• Elaine Rich, Automata, computability and complexity : theory and applications, Prentice Hall, 2007, 1099 p. (ISBN 978-0-13-228806-4 et 0-13-228806-0), chapitre 23.5.

Chapitres de manuels

• Samson Abramsky, Dov M. Gabbay, Thomas S. E. Maibaum (ed.), Handbook of Logic in Computer Science: Semantic modelling, Oxford University Press, 1995, (ISBN 0-19-853780-8).

• Nachum Dershowitz et Jean-Pierre Jouannaud, « Rewrite Systems », dans Jan van Leeuwen (éditeur), Handbook of Theoretical Computer Science, vol. B : Formal Models and Semantics, Elsevier et MIT Press, 1990 (ISBN 0-444-88074-7, lire en ligne), p. 243-320
• Matthias Jantzen, « Basics of Term Rewriting », dans Grzegorz Rozenberg et Arto Salomaa (éditeurs), Handbook of Formal Languages, vol. 3 : Beyond Words, Springer, 1997 (ISBN 3-540-60420-0), p. 269-337
• Martin Davis (éditeur), The Undecidable : Basic Papers on Undecidable Propositions, Unsolvable Problems and Computable Functions, New York, Raven Press, 1965, 414 p. (ISBN 978-0-486-43228-1, lire en ligne) — Réimpression avec corrections par Dover en 2004.

Articles historiques

• Axel Thue, « Die Lösung eines Spezialfalles eines generellen logischen Problems », Norske Vid. Skrifter I Mat.-Nat. Kl., Christiania, n^o 8,‎ 1910 — réimpression dans les Œuvres mathématiques, p. 273–310
• Axel Thue, « Probleme über Veränderungen von Zeichenreihen nach gegebenen Regeln », Norske Vid. Skrifter I Mat.-Nat. Kl., Christiania, n^o 10,‎ 1914 — réimpression dans les Œuvres mathématiques, p. 493–524
• Trygve Nagell, Atle Selberg, Sigmund Selberg et Knut Thalberg (éditeurs) (préf. Carl Ludwig Siegel), Selected Mathematical Papers of Axel Thue, Oslo, Universiteitsforlaget, 1977, lviv+ 591 (ISBN 82-00-01649-8, présentation en ligne)
  Introduction par Carl Ludwig Siegel ; résumés en anglais des articles écrits en norvégien en fin de volume.
• Emil Post, « Recursive unsolvability of a problem of Thue », Journal Symbolic Logic, vol. 12, n^o 1,‎ 1947, p. 1–11.
• A. Markoff, « On the impossibility of certain algorithms in the theory of associative systems, », C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N.S.), vol. 55,‎ 1947, p. 583–586 (Math Reviews 0020528)

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