Système exhaustif

Des évènements forment un système exhaustif s'ils sont deux-à-deux incompatibles et si leur réunion est l'univers tout entier.

Plus formellement, si ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {E}})}$ est un espace probabilisable, on dit qu'une famille ${\displaystyle (B_{i})_{i\in I}}$ d'éléments de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ indexée par un ensemble ${\displaystyle I}$ est un système exhaustif ou un système complet si

• ${\displaystyle \forall (i,j)\in I^{2},\quad i\neq j\ \Longrightarrow \ B_{i}\cap B_{j}=\emptyset }$;
• ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}B_{i}=\Omega }$.

En particulier, toute partition de l'univers ${\displaystyle \Omega }$ est un système exhaustif (une partition exige en plus que chaque évènement soit non vide).

Par exemple, si ${\displaystyle A}$ est un évènement, alors la famille ${\displaystyle (A,{\overline {A}})}$, où ${\displaystyle A}$ est l'évènement contraire de ${\displaystyle A}$, est un système exhaustif.

Des évènements forment un système quasi-exhaustif (ou quasi-complet) s'ils sont deux-à-deux incompatibles et si leur réunion est un événement quasi-certain, c'est-à-dire dont la probabilité vaut 1 (en lieu et place de la condition « leur réunion est l’univers tout entier »).

Plus formellement, si ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {E}},\mathbb {P} )}$ est un espace de probabilité, on dit qu'une famille ${\displaystyle (B_{i})_{i\in I}}$ d'éléments de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ indexée par un ensemble ${\displaystyle I}$ est un système quasi-exhaustif ou un système quasi-complet si

• ${\displaystyle \forall (i,j)\in I^{2},\quad i\neq j\ \Longrightarrow \ B_{i}\cap B_{j}=\emptyset }$;
• ${\displaystyle \mathbb {P} {\Big (}\bigcup _{i\in I}B_{i}{\Big )}=1}$.

Un système exhaustif est en particulier un système quasi-exhaustif, puisque l'univers est un évènement quasi-certain (autrement dit ${\displaystyle \mathbb {P} (\Omega )=1}$).

Par exemple, si on s'intéresse à une série infinie de lancers de pièce de monnaie et si on définit, pour tout entier naturel ${\displaystyle i}$ non nul, l'évènement ${\displaystyle B_{i}}$ correspondant à « pile apparait pour la première fois au ${\displaystyle i}$-ième lancer », alors ${\displaystyle (B_{i})_{i\in \mathbb {N} ^{*}}}$ est un système quasi-exhaustif. Ce n'est pas un système exhaustif car la réunion n'est pas égale à l'univers tout entier (l'évènement « obtenir face à chaque lancer » n'appartient pas à cette famille).

À noter que certains auteurs utilisent la dénomination système exhaustif (ou système complet)) pour parler d'un système quasi-exhaustif (ou système quasi-complet)[1].

• Formule des probabilités totales
• Théorème de Bayes

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