Système quater-imaginaire

Le système de numération quater-imaginaire fut proposé en premier par Donald Knuth en 1955, lors d'une soumission à une recherche de talent scientifique au lycée. C'est un système positionnel non standard (en) car à base complexe (en), qui utilise comme base le nombre imaginaire pur $2 i$ . Il peut représenter chaque nombre complexe en utilisant seulement les chiffres 0, 1, 2 et 3 (les réels négatifs, dont la représentation dans un système standard utilise le signe moins, sont représentables en quater-imaginaire par une simple suite de chiffres).

Puissances de $2i$

$n$	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
$(2i) n$	$1/256$	$i/128$	$-1/64$	$-i/32$	$1/16$	$i/8$	$-1/4$	$-i/2$	$1$	$2i$	$-4$	$-8i$	$16$	$32i$	$-64$	$-128i$	$256$

Du système décimal vers le système quater-imaginaire

Base 10	Base $2i$
1	1
2	2
3	3
4	10300
5	10301
6	10302
7	10303
8	10200
9	10201
10	10202
11	10203
12	10100
13	10101
14	10102
15	10103
16	10000

Base 10	Base $2i$
–1	103
−2	102
−3	101
−4	100
−5	203
−6	202
−7	201
−8	200
−9	303
−10	302
−11	301
−12	300
−13	1030003
−14	1030002
−15	1030001
−16	1030000

Base 10	Base $2i$
$i$	10,2
$2i$	10
$3i$	20,2
$4i$	20
$5i$	30,2
$6i$	30
$7i$	103000,2
$8i$	103000
$9i$	103010,2
$10i$	103010
$11i$	103020,2
$12i$	103020
$13i$	103030,2
$14i$	103030
$15i$	102000,2
$16i$	102000

Base 10	Base $2i$
$-i$	0,2
$-2i$	1030
$-3i$	1030,2
$-4i$	1020
$-5i$	1020,2
$-6i$	1010
$-7i$	1010,2
$-8i$	1000
$-9i$	1000,2
$-10i$	2030
$-11i$	2030,2
$-12i$	2020
$-13i$	2020,2
$-14i$	2010
$-15i$	2010,2
$-16i$	2000

Exemples

Deux exemples d'entiers :

-31_{10}=d_{0}+d_{2}(2{\rm {i}})^{2}+d_{4}(2{\rm {i}})^{4}+d_{6}(2{\rm {i}})^{6}+\dots =d_{0}-4d_{2}+16d_{4}-64d_{6}+\dots \Leftrightarrow

d_{0}=1,\quad 8_{10}=d_{2}-4d_{4}+16d_{6}-\dots \Leftrightarrow

d_{0}=1,\quad d_{2}=0,\quad -2_{10}=d_{4}-4d_{6}+\dots \Leftrightarrow

d_{0}=1,\quad d_{2}=0,\quad d_{4}=2,\quad d_{6}=1,\quad d_{8}=\dots =0

donc

-31_{10}=1020001_{2{\rm {i}}}.

De même, $15_{10}=10103_{2{\rm {i}}}.$

La conversion d'un nombre dyadique se ramène à celle d'un entier :

{\frac {31}{4}}=-31(2{\rm {i}})^{-2}=10200{,}01_{2{\rm {i}}}.

La conversion du produit par $i$ d'un nombre dyadique aussi :

-{\frac {15{\rm {i}}}{2}}=15(2{\rm {i}})^{-1}=1010{,}3_{2{\rm {i}}}.

La partie réelle et la partie imaginaire s'additionnent :

{\frac {31}{4}}-{\frac {15}{2}}{\rm {i}}=10200{,}01_{2{\rm {i}}}+1010{,}3_{2{\rm {i}}}=11210{,}31_{2{\rm {i}}}.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Quater-imaginary base » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Liens externes

(en) D. Knuth, The Art of Computer Programming, vol. 2, 3^e éd., Addison-Wesley, p. 205, « Positional Number Systems »

Arithmétique et théorie des nombres

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