Tenseur énergie-impulsion

Le tenseur énergie-impulsion est un outil mathématique utilisé notamment en relativité générale afin de représenter la répartition de masse et d'énergie dans l'espace-temps.

La théorie de la relativité restreinte d'Einstein établissant l'équivalence entre masse et énergie, la théorie de la relativité générale indique que ces dernières courbent l'espace. L'effet visible de cette courbure est la déviation de la trajectoire des objets en mouvement, observé couramment comme l'effet de la gravitation.

Histoire

Le tenseur énergie-impulsion du champ électromagnétique a été écrit, pour la première fois, par Joseph Larmor (1857-1942) en 1898 dans l'essai qui lui a permis de remporter le prix Adams et qu'il a publié en 1900 dans Aether and Matter[1].

En 1908, Hermann Minkowski (1864-1909) introduit la notion de tenseur énergie-impulsion[2]^,[3]^,[4]. Mais il ne l'applique qu'au champ électromagnétique[2]. C'est à Max von Laue (1879-1960) qu'est due — semble-t-il — l'usage général du tenseur pour décrire la dynamique de m'importe quel type de matière ou de champ[2] : en 1911, il en donne une décomposition générale[2]^,[5]^,[6].

En 1908, Max Planck (1858-1947) énonce la propriété d'égalité — à un facteur $c 2$ près — du flux d'énergie et de la densité d'impulsion[2]^,[7]^,[8] ; propriété qu'en 1900, Henri Poincaré (1854-1912) avait établie dans le cas particulier du champ électromagnétique[2]^,[9]^,[10].

Tenseur énergie-impulsion

Les composants du tenseur énergie-impulsion.

Le tenseur énergie-impulsion peut s'écrire sous la forme d'une matrice 4 × 4 réelle symétrique :

T_{\mu \nu }\ =\ \left({\begin{matrix}T_{00}&T_{01}&T_{02}&T_{03}\\T_{10}&T_{11}&T_{12}&T_{13}\\T_{20}&T_{21}&T_{22}&T_{23}\\T_{30}&T_{31}&T_{32}&T_{33}\end{matrix}}\right)

Ce tenseur dérive des flux du quadri-moment (quadrivecteur impulsion-énergie) à travers des surfaces de coordonnée $x^{\nu }$ constante.

Les composantes du tenseur énergie-impulsion sont les suivantes :

$T 00$ est la densité d'énergie[11]^,[12]^,[13]. Elle est positive ;
$cT 0i$ est la composante $i$ du flux d'énergie[13] à travers la surface unité suivant $i$ [11] ;
$T i0 / c$ est la densité de la composante $i$ de l'impulsion relativiste[11]^,[13] ;
$T ij$ est la composante $j$ du flux de la composante $i$ de l'impulsion relativiste[13]. Les composantes $T ij$ sont celles du tenseur des contraintes dans l'espace[12].
Par symétrie, {T₀₁, T₀₂, T₀₃}={T₁₀, T₂₀, T₃₀} et sont donc aussi des densités de moments.

La sous-matrice 3 × 3 des composantes spatiale :

T_{ik}\ =\ \left({\begin{matrix}T_{11}&T_{12}&T_{13}\\T_{21}&T_{22}&T_{23}\\T_{31}&T_{32}&T_{33}\end{matrix}}\right)

est la matrice des flux de moments. En mécanique des fluides, sa diagonale correspond à la pression, et les autres composantes correspondent aux efforts tangentiels dus à la viscosité.

Construction

Pour une théorie décrite par une densité lagrangienne ${\mathcal {L}}$ , l'action s'écrit comme une intégrale sur l'espace-temps :

S\ =\ \int d^{4}x\ {\sqrt {g}}\ {\mathcal {L}}

où $g=|\mathrm {det} \ g_{\mu \nu }|$ est le déterminant du tenseur métrique de l'espace-temps. Le tenseur énergie-impulsion associé est défini par la variation de l'action par rapport à la métrique inverse :

T_{\mu \nu }\ =\ {\frac {1}{\sqrt {g}}}\ {\frac {\delta S}{\delta g^{\mu \nu }}}

Propriétés

Le tenseur énergie-impulsion est un tenseur d'ordre 2[14]^,[15]^,[16].

Il est symétrique[14]^,[17]^,[12] :

T_{\alpha \beta }=T_{\beta \alpha }

.

Étant symétrique, il ne possède que dix composantes indépendantes[12].

Le tenseur énergie-impulsion est de divergence nulle[14] :

{T^{\alpha \beta }}_{;\alpha }=0

.

Dans le cas d'un fluide parfait, où $T^{\alpha \beta }=Pg^{\alpha \beta }-(\rho +P)u^{\alpha }u^{\beta }$ , en métrique plate, cette condition de divergence nulle redonne l'équation de conservation de la masse en régime permanent : div (ρv) = 0

Dimension et unité

En analyse dimensionnelle, les tenseur énergie-impulsion est homogène à une densité (volumique) d'énergie, c'est-à-dire au produit d'une densité d'impulsion par une vitesse[18].

Dans le Système international d'unités, son unité est le joule par mètre cube (J m–³)[18], unité dérivée de l'énergie volumique[19]^,[20] :

1 J \cdot m -3 = 1 kg \cdot m -1 \cdot s -2

.

Exemples

Fluide parfait

Pour un fluide au repos, le tenseur énergie-impulsion se réduit à la matrice diagonale diag(ρc^2,-p,-p,-p) où ρ est la masse volumique et p la pression hydrostatique.

Énergie noire

Placer la constante cosmologique $\Lambda$ dans le membre de droite de l'équation d'Einstein permet de lui associer un tenseur énergie-impulsion[21] :

T_{\mu \nu }\left(\Lambda \right)={\frac {c^{4}\Lambda }{8\pi G}}g_{\mu \nu }

.

Cela correspond au tenseur énergie-impulsion d'un fluide parfait dont l'équation d'état est[21] :

\rho _{\Lambda }=-{\frac {p_{\Lambda }}{c^{2}}}={\frac {c^{2}\Lambda }{8\pi G}}

.

Si la constante cosmologique est positive, alors le fluide associé est caractérisé par une densité d'énergie $\rho _{\Lambda }c^{2}$ positive et une pression $p_{\Lambda }$ exactement opposée[21]. C'est ce fluide, qui ne correspond à aucune forme connue de matière, qui est appelé l'énergie noire[21].

Relativité générale

Le vide est, en relativité générale, une région de l'espace-temps où le tenseur énergie-impulsion s'annule[22]^,[23].

Notes et références

Jones 2017, § 10.7.5, p. 266.
Gourgoulhon 2010, p. 626, n. historique.
Gourgoulhon 2010, p. 745, réf. 289.
Minkowski 1908.
Gourgoulhon 2010, p. 741, réf. 243.
Laue 1911.
Gourgoulhon 2010, p. 747, réf. 327.
Planck 1908.
Gourgoulhon, p. 747, réf. 329.
Poincaré 1900.
Barrau et Grain 2016, p. 81.
Semay et Silvestre-Brac 2021, chap. 2, § 12.2, p. 260.
Semay et Silvestre-Brac 2021, chap. 2, § 12.4, p. 264.
Barrau et Grain 2016, p. 82.
Semay et Silvestre-Brac 2021, chap. 2, § 12.2, p. 258.
Taillet, Villain et Febvre 2018, p. 721.
Gourgoulhon 2010, p. 625.
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Pérez 2016, chap. 10, sect. II, § II.8, p. 249.
Dubesset 2000, 1^re part., tabl. 4, s.v. énergie volumique, p. 3.
Semay et Silvestre-Brac 2021, chap. 12, § 12.3, p. 264.
Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009, chap. 8, § 8.6, p. 181.
Penrose 2007, chap. 19, § 19.6, p. 447.

Voir aussi

Publications originales

[Laue 1911] (de) Max von Laue, « Zur Dynamik der Relativitätstheorie », Annalen der Physik, 4^e série, t. 35, n^o 8,‎ 1911, p. 524-542 (OCLC 4650525137, DOI 10.1002/andp.19113400808, Bibcode 1911AnP...340..524L, lire en ligne).
[Minkowski 1908] (de) Hermann Minkowski, « Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern » [« Les équations fondamentales des phénomènes électromagnétiques dans les corps en mouvement »], Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-physikalische Klasse,‎ 1908, p. 53-111 (lire sur Wikisource, lire en ligne).
[Planck 1908] (de) Max Planck, « Bemerkungen zum Prinzip der Aktion und Reaktion in der allgemeinen Dynamik », Physikalische Zeitschrift, vol. 9,‎ 1908, p. 828-830 (lire sur Wikisource).
[Poincaré 1900] Henri Poincaré, « La théorie de Lorentz et le principe de la réaction », Archives néerlandaises des sciences exactes et naturelles, 2^e série, t. 5,‎ 1900, p. 252-278.

Ouvrages d'introduction

[Damour 2005] Thibault Damour, « Relatibité générale », dans Alain Aspect et al. (av.-prop. de Michèle Leduc et Michel Le Bellac), Einstein aujourd'hui, Les Ulis et Paris, EDP Sciences et CNRS, coll. « Savoirs actuels / physique », janv. 2005, 1^re éd., 1 vol., VIII-417, ill., fig. et portr., 15,5 × 23,5 cm, br. (ISBN 2-86883-768-9 et 2-271-06311-6, EAN 9782868837684, OCLC 61336564, BNF 39916190, DOI 10.1051/978-2-7598-0269-2, SUDOC 083929657, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 6, p. 269-320 (DOI 10.1051/978-2-7598-0269-2-007).
[Penrose 2007] Roger Penrose (trad. de l'anglais par Céline Laroche), À la découverte des lois de l'Univers : la prodigieuse histoire des mathématiques et de la physique [« The road to reality : a complete guide to the laws of the Universe »], Paris, O. Jacob, coll. « Sciences », 30 août 2007, 1^re éd., 1 vol., XXII-1061, ill. et fig., 15,5 × 24 cm (ISBN 978-2-7381-1840-0, EAN 9782738118400, OCLC 209307388, BNF 41131526, SUDOC 118177311, présentation en ligne, lire en ligne).

Manuels d'enseignement supérieur

[Barrau et Grain 2016] Aurélien Barrau et Julien Grain, Relativité générale, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences sup / physique », août 2016, 2^e éd. (1^re éd. août 2011), 1 vol., VIII-231, ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-074737-5, EAN 9782100747375, OCLC 958388884, BNF 45101424, SUDOC 195038134, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 5 (« Second aspect de la relativité générale : comment la masse crée la courbure »), [sect.] 5.2 (« Tenseur énergie-impulsion »), p. 80-83.
[Gourgoulhon 2010] Éric Gourgoulhon (préf. de Thibault Damour), Relativité restreinte : des particules à l'astrophysique, Les Ulis et Paris, EDP Sciences et CNRS, coll. « Savoirs actuels / physique », mai 2010 (réimpr. sept. 2011), 1^re éd., 1 vol., XXVI-776, ill. et fig., 15 × 23 cm (ISBN 978-2-271-07018-0 et 978-2-7598-0067-4, EAN 9782759800674, OCLC 690639994, BNF 41411713, SUDOC 14466514X, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 19 (« Tenseur énergie-impulsion »), p. 619-632.
[Rougé 2008] André Rougé, Relativité restreinte : la contribution d'Henri Poincaré, Palaiseau, École polytechnique, coll. « Histoire de la physique », déc. 2008, 1^re éd., 1 vol., 276-[I], ill., fig. et portr., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-7302-1525-1, EAN 9782730215251, OCLC 436981772, BNF 41470293, SUDOC 131051431, présentation en ligne, lire en ligne).
[Semay et Silvestre-Brac 2021] Claude Semay et Bernard Silvestre-Brac, Relativité restreinte : bases et applications, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences sup », novembre 2021, 4^e éd. (1^re éd. octobre 2005), X-309 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-082836-4, EAN 9782100828364, OCLC 1286364270, BNF 46915115, SUDOC 258655097, présentation en ligne, lire en ligne).
[Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009] Michael P. Hobson, George Efstathiou et Anthony N. Lasenby (trad. de l'anglais américain par Loïc Villain, rév. par Richard Taillet), Relativité générale [« General relativity : an introduction for physicists »], Bruxelles, De Boeck Université, coll. « Physique », déc. 2009, 1^re éd., 1 vol., XX-554, ill. et fig., 21,6 × 27,5 cm (ISBN 978-2-8041-0126-8, EAN 9782804101268, OCLC 690272413, BNF 42142174, SUDOC 140535705, présentation en ligne, lire en ligne).
[Jones 2017] (en) Bernard J. T. Jones, Precision cosmology : the first half million years [« Cosmologie de précision : le premier demi-million d'années »], Cambridge, CUP, hors coll., avr. 2017, 1^re éd., 1 vol., XIV-761, ill., fig. et tabl., 19,3 × 25,3 cm (ISBN 978-0-521-55433-6, EAN 9780521554336, OCLC 984510026, BNF 45334898, DOI 10.1017/CBO9781139027809, Bibcode 2017pcos.book.....J, SUDOC 200392751, présentation en ligne, lire en ligne).
[Pérez 2016] José-Philippe Pérez (avec la collab. d'Éric Anterrieu), Relativité : fondements et applications, Paris, Dunod, hors coll., mai 2016 (réimpr. oct. 2017), 3^e éd. (1^re éd. sept. 1999), 1 vol., XXIII-439, ill., fig. et tabl., 17,7 × 24 cm, br. (ISBN 978-2-10-074717-7 et 978-2-10-077295-7, EAN 9782100747177, OCLC 949876980, BNF 45033071, SUDOC 193153297, présentation en ligne, lire en ligne).

Dictionnaires et encyclopédies

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Divers

[Dubesset 2000] Michel Dubesset (préf. de Gérard Grau), Le manuel du Système international d'unités : lexique et conversions, Paris, Technip, coll. « Publications de l'Institut français du pétrole » (n^o 20), sept. 2000, 1^re éd., 1 vol., XX-169, ill., fig. et tabl., 15 × 22 cm, br. (ISBN 2-7108-0762-9, EAN 9782710807629, OCLC 300462332, BNF 37624276, SUDOC 052448177, présentation en ligne, lire en ligne).

Articles connexes

Liens externes

(en) energy-momentum tensor (tenseur énergie-quantité de mouvement) sur l'Etymological Dictionary of Astronomy and Astrophysics de l'Observatoire de Paris.

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