Test t de Welch

Sa statistique de test est donnée par la formule suivante :

${\displaystyle t={{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2} \over {\sqrt {{s_{1}^{2} \over N_{1}}+{s_{2}^{2} \over N_{2}}}}}\,}$

où ${\displaystyle {\overline {X}}}$, s² et N correspondent respectivement à la moyenne d'un échantillon, à l'estimateur non-biaisé de sa variance et à la taille de l'échantillon. Contrairement au test t de Student, le dénominateur n'est pas basé sur une estimation de l'ensemble des variances.

Le calcul des degrés de liberté ν associés à cette estimation de la variance est approché par l'équation de Welch-Satterthwaite :

${\displaystyle \nu ={{\left({s_{1}^{2} \over N_{1}}+{s_{2}^{2} \over N_{2}}\right)^{2}} \over {{s_{1}^{4} \over N_{1}^{2}\cdot \nu _{1}}+{s_{2}^{4} \over N_{2}^{2}\cdot \nu _{2}}}}={{\left({s_{1}^{2} \over N_{1}}+{s_{2}^{2} \over N_{2}}\right)^{2}} \over {{s_{1}^{4} \over N_{1}^{2}\cdot \left({N_{1}-1}\right)}+{s_{2}^{4} \over N_{2}^{2}\cdot \left({N_{2}-1}\right)}}}.\,}$

Ainsi ν_i = N_i –1, les degrés de liberté sont associés à la i^e estimation de la variance.

Une fois le t et ν calculés, ces statistiques peuvent être utilisés avec une loi de Student à ν degrés de liberté, pour tester l'hypothèse nulle qui stipule que les moyennes de deux populations sont égales (utilisant un test bilatéral), ou l'hypothèse nulle stipulant que la moyenne d'une population est supérieure ou égale à une autre (utilisant un test unilatéral). Lorsque le test est réalisé, celui-ci donne une p-value qui permettra de rejeter ou non l'hypothèse nulle.

• (en) Welch B. L., « The generalization of "Student's" problem when several different population variances are involved », Biometrika, vol. 34, n^os 1/2,‎ 1947, p. 28-35 (DOI 10.1093/biomet/34.1-2.28)
• (en) Test t avec correction de Welch
• (en) Sawilowsky S. S., « Fermat, Schubert, Einstein, and Behrens–Fisher: The Probable Difference Between Two Means When σ₁ ≠ σ₂ », Journal of Modern Applied Statistical Methods, vol. 1, n^o 2,‎ 2002, p. 461-472 (lire en ligne)
• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Welch's t test » (voir la liste des auteurs).