Théorème bipolaire

En mathématiques, le théorème bipolaire est un théorème d'analyse convexe qui fournit les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un cône soit égal à son cône bipolaire. Le théorème bipolaire peut être vu comme un cas particulier du théorème de Fenchel-Moreau[1].

Énoncé du théorème

Pour tout ensemble non vide $C\subset X$ d'un espace vectoriel $X$ , le cône bipolaire $C^{\circ \circ }=(C^{\circ })^{\circ }$ est donné par

C^{\circ \circ }=\operatorname {cl} (\operatorname {co} \{\lambda c:\lambda \geq 0,c\in C\})

où $\operatorname {co}$ désigne l'enveloppe convexe[2]^,[3]

Cas particulier

$C\subset X$ est un cône convexe non vide et fermé si et seulement si $C^{++}=C^{\circ \circ }=C$ , où $C^{++}=(C^{+})^{+}$ , et $(\cdot )^{+}$ désigne le cône dual positif[3]^,[4].

Plus généralement, si $C$ est un cône convexe non vide alors le cône bipolaire est donné par

C^{\circ \circ }=\operatorname {cl} C.

Lien avec le théorème de Fenchel-Moreau

Si $f(x)=\delta (x|C)={\begin{cases}0&{\text{si }}x\in C\\+\infty &{\text{sinon}}\end{cases}}$ est la fonction indicatrice d'un cône $C$ . Alors la fonction convexe conjuguée $f^{*}(x^{*})=\delta (x^{*}|C^{o})=\delta ^{*}(x^{*}|C)=\sup _{x\in C}\langle x^{*},x\rangle$ est la fonction d'appui de $C$ , et $f^{**}(x)=\delta (x|C^{oo})$ . Donc $C=C^{oo}$ si et seulement si $f=f^{**}$ [2]^,[4].

Le théorème de Fenchel-Moreau peut être vu comme une généralisation du théorème bipolaire.

Références

(en) Jonathan Borwein et Adrian Lewis, Convex Analysis and Nonlinear Optimization : Theory and Examples, New York, Springer, 2006, 2^e éd., 310 p. (ISBN 978-0-387-29570-1, lire en ligne), p. 76-77.
Borwein et Lewis 2006, p. 54
(en) Stephen P. Boyd et Lieven Vandenberghe, Convex Optimization, Cambridge University Press, 2004, 716 p. (ISBN 978-0-521-83378-3, lire en ligne), p. 51-53.
(en) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton, NJ, Princeton University Press, 1997 (1^re éd. 1970), 451 p. (ISBN 978-0-691-01586-6, lire en ligne), p. 121-125.

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[BorweinLewis-1] (en) Jonathan Borwein et Adrian Lewis, Convex Analysis and Nonlinear Optimization : Theory and Examples, New York, Springer, 2006, 2^e éd., 310 p. (ISBN 978-0-387-29570-1, lire en ligne), p. 76-77.

[BL54-2] Borwein et Lewis 2006, p. 54

[Boyd-3] (en) Stephen P. Boyd et Lieven Vandenberghe, Convex Optimization, Cambridge University Press, 2004, 716 p. (ISBN 978-0-521-83378-3, lire en ligne), p. 51-53.

[Rockafellar-4] (en) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton, NJ, Princeton University Press, 1997 (1^re éd. 1970), 451 p. (ISBN 978-0-691-01586-6, lire en ligne), p. 121-125.