Théorème de Liouville (approximation diophantienne)

En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, le théorème de Liouville, démontré par Joseph Liouville en 1844[1], concerne l'approximation diophantienne des nombres algébriques par les rationnels. Il montre que les nombres irrationnels algébriques sont « mal » approchés par les rationnels, au sens où les approximations rationnelles exigent des dénominateurs relativement grands. Il s'énonce comme suit :

Théorème[2] —  Soit α un nombre réel algébrique de degré d > 1. Alors il existe une constante A > 0 telle que pour tout rationnel p/q (avec q > 0 et p entiers), on ait :

.

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En 1844, Liouville en déduit les premiers nombres transcendants découverts, par exemple la somme des inverses des 10n! ; ces nombres sont connus désormais sous le nom de nombres de Liouville.

Notes et références
  1. Joseph Liouville, « Sur des classes très-étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique ni même réductible à des irrationnelles algébriques », J. Math. Pures Appl., 1re série, t. 16,‎ , p. 133-142 (lire en ligne), reproduit et complète ses deux notes de mai 1844, « Communication orale », Compte rendu des séances de l'Académie des sciences, vol. 18,‎ , p. 883-885 et 910-911.
  2. Pour une démonstration, voir par exemple (en) Daniel Duverney, Number Theory: An Elementary Introduction Through Diophantine Problem, World Scientific, (ISBN 978-9-81430746-8, lire en ligne), p. 139, ou « Théorème de Liouville », dans la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité.

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