Théorème de Müntz

Le théorème de Müntz-Szász est un résultat fondamental de la théorie de l'approximation, conjecturé en 1912 par Sergeï Bernstein[1] et démontré en 1914 par Herman Müntz (en)[2]. En 1916, Otto Szász l'a étendu à des exposants complexes et en a fourni une preuve plus simple[3].

Pour $I$ un segment quelconque de ℝ, le théorème de Weierstrass assure que toute fonction continue de $I$ dans ℂ est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Le théorème de Müntz-Szász est une généralisation du théorème de Weierstrass, dans le cas où le segment $I$ est positif, avec un ensemble d'« exposants de monômes » différent de celui des entiers naturels, mais satisfaisant une condition analogue à celle de la divergence de la série harmonique.

Énoncé

Soient :

$(\lambda _{n})_{n}$ une suite strictement croissante de réels strictement positifs ;
$I = [a, b]$ avec $0 \leq a < b$ ;
$C (I)$ l'espace vectoriel normé des fonctions continues de $I$ dans $\mathbb {C}$ (muni de la norme de la convergence uniforme) ;
$F$ le sous-ensemble des fonctions $x \mapsto x λ n$ , auxquelles on adjoint, si $a = 0$ , la fonction constante $1$ .

Alors, les assertions suivantes sont équivalentes :

$F$ est total dans $C (I)$ , (c'est-à-dire que le sous-espace vectoriel qu'il engendre est dense).

La suite $(\lambda _{n})_{n}$ satisfait : $\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {1}{\lambda _{n}}}=+\infty$

Démonstration du sens indirect

Nous allons démontrer que l'hypothèse $\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {1}{\lambda _{n}}}=+\infty$ est suffisante pour que $F$ soit total dans $C(I)$ . La preuve suivante[4] (pour $I = [0, 1]$ ) nécessite l'hypothèse supplémentaire[5] $λ n \to +\infty$ mais « a deux avantages distincts par rapport à la majorité des preuves connues du même résultat : elle est à la fois constructive et courte[6]. »

Les hypothèses sont donc : $0<\lambda _{1}<\lambda _{2}<\ldots ,\quad \lambda _{n}\to +\infty \quad {\rm {et}}\quad \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}}}=+\infty$ et il suffit (d'après le théorème de Weierstrass) de montrer que pour tout entier $m > 0$ , il existe une suite de fonctions $P n (x)$ , combinaisons linéaires (à coefficients complexes) des $x λ k$ , telle que la différence $Q n (x) := x m - P n (x)$ converge uniformément vers $0$ sur $[0, 1]$ . On définit par récurrence une telle suite en posant : $Q_{0}(x)=x^{m},\quad Q_{n}(x)=(\lambda _{n}-m)x^{\lambda _{n}}\int _{x}^{1}Q_{n-1}(t)t^{-(1+\lambda _{n})}{\rm {d}}t.$ On vérifie facilement (par récurrence) que :

chaque $Q n$ est la différence de $x m$ et d'une combinaison linéaire des $x λ k$ pour $k \leq n$ ;
en notant ║ ║ la norme de la convergence uniforme sur $[0, 1]$ , $\|Q_{n}\|\leq \prod _{k=1}^{n}\left|1-{\frac {m}{\lambda _{k}}}\right|,$ ou encore, en appliquant le logarithme : $\ln \|Q_{n}\|\leq \sum _{k=1}^{n}\ln \left|1-{\frac {m}{\lambda _{k}}}\right|.$

Détails des calculs

$(\lambda _{n}-m)x^{\lambda _{n}}\int _{x}^{1}t^{\lambda }t^{-(1+\lambda _{n})}{\rm {d}}t={\begin{cases}x^{m}-x^{\lambda _{n}}&{\text{si }}\lambda =m,\\{\frac {\lambda _{n}-m}{\lambda _{n}-\lambda }}(x^{\lambda }-x^{\lambda _{n}})&{\text{si }}\lambda \neq \lambda _{n}.\end{cases}}$ Le premier point se déduit de ces deux cas (compatibles) en appliquant le second à $λ = λ k$ pour tout $k < n$ . En appliquant ce même second cas à $λ = 0$ , on trouve $\forall x\in [0,1]\quad |Q_{n}(x)|\leq \|Q_{n-1}\|\left|1-{\frac {m}{\lambda _{n}}}\right|(1-x^{\lambda _{n}})\leq \|Q_{n-1}\|\left|1-{\frac {m}{\lambda _{n}}}\right|.$

Puisque $λ n \to +\infty$ , on a l'équivalent $\ln \left|1-{\frac {m}{\lambda _{k}}}\right|\sim -{\frac {m}{\lambda _{k}}}.$ Par comparaison des séries, on en déduit que $ln║ Q n ║ \to -\infty$ , c'est-à-dire $║ Q n ║ \to 0$ .

Notes et références

S. Bernstein, « Sur les recherches récentes relatives à la meilleure approximation des fonctions continues par les polynômes », dans Proc. 5th ICM, vol. 1, 1912 (lire en ligne), p. 256-266.
(de) Ch. H. Müntz, « Über den Approximationssatz von Weierstraß », dans C. Carathéodory, G. Hessenberg, E. Landau et L. Lichtenstein (en), Mathematische Abhandlungen Hermann Amandus Schwarz zu seinem fünfzigjährigen Doktorjubiläum, Springer, 1914 (lire en ligne), p. 303-312.
(de) O. Szász, « Über die Approximation stetiger Funktionen durch lineare Aggregate von Potenzen », Math. Ann., vol. 77,‎ 1916, p. 482-496 (lire en ligne).
(en) Manfred von Golitschek, « A short proof of Müntz Theorem », J. Approx. Theory, vol. 39,‎ 1983, p. 394-395 (DOI 10.1016/0021-9045(83)90083-7).
Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions], 1978, th. 15.26, p. 294, donne une démonstration sans cette hypothèse, à l'aide d'un théorème sur la répartition des zéros d'une fonction holomorphe bornée sur un disque.
(en) José María Almira, « Müntz type theorems I », Surveys in Approximation Theory, vol. 3,‎ 2007, p. 152-194 (arXiv 0710.3570).

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[1] S. Bernstein, « Sur les recherches récentes relatives à la meilleure approximation des fonctions continues par les polynômes », dans Proc. 5th ICM, vol. 1, 1912 (lire en ligne), p. 256-266.

[2] (de) Ch. H. Müntz, « Über den Approximationssatz von Weierstraß », dans C. Carathéodory, G. Hessenberg, E. Landau et L. Lichtenstein (en), Mathematische Abhandlungen Hermann Amandus Schwarz zu seinem fünfzigjährigen Doktorjubiläum, Springer, 1914 (lire en ligne), p. 303-312.

[3] (de) O. Szász, « Über die Approximation stetiger Funktionen durch lineare Aggregate von Potenzen », Math. Ann., vol. 77,‎ 1916, p. 482-496 (lire en ligne).

[4] (en) Manfred von Golitschek, « A short proof of Müntz Theorem », J. Approx. Theory, vol. 39,‎ 1983, p. 394-395 (DOI 10.1016/0021-9045(83)90083-7).

[5] Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions], 1978, th. 15.26, p. 294, donne une démonstration sans cette hypothèse, à l'aide d'un théorème sur la répartition des zéros d'une fonction holomorphe bornée sur un disque.

[6] (en) José María Almira, « Müntz type theorems I », Surveys in Approximation Theory, vol. 3,‎ 2007, p. 152-194 (arXiv 0710.3570).