Théorème de Mazur-Ulam

En analyse, le théorème de Mazur-Ulam caractérise les isométries bijectives entre espaces vectoriels normés réels. Il a été publié par Mazur et Ulam en 1932, en réponse à une question posée par Banach[1].

Énoncé

Théorème —  Toute surjection isométrique F d'un espace vectoriel normé réel dans un autre telle que F(0) = 0 est additive (en), c’est-à-dire que F(x + y) = F(x) + F(y) pour tout x et y dans le domaine de F.

Il en résulte immédiatement[2],[3] que F est linéaire et que si l'on n'impose plus F(0) = 0, F est affine[4].

Remarques

L'injectivité de F est assurée par son caractère isométrique mais l'hypothèse de surjectivité est indispensable, à moins que l'espace d'arrivée soit strictement convexe[5].

La version complexe du théorème n'est pas valide : Jean Bourgain a démontré en 1986, par une méthode probabiliste, l'existence d'un espace de Banach complexe qui n'est même pas isomorphe, en tant que ℂ-espace vectoriel topologique, à son conjugué et Nigel Kalton (en) en a fourni un exemple explicite[6]. Ceci contraste avec le fait que deux espaces de Banach (ou même de Fréchet) sont homéomorphes dès qu'ils sont séparables ou plus généralement, dès qu'ils ont même densité[7].

Notes et références
  1. Stanisław Mazur et Stanislaw Ulam, « Sur les transformations isométriques d’espaces vectoriels normés », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, Paris, vol. 194,‎ , p. 946-948 (lire en ligne), note 1.
  2. Mazur et Ulam 1932, note 2.
  3. Bachir Bekka, « Isométries des espaces de Banach : Théorème de Mazur-Ulam », sur Université de Rennes I, (notes de préparation à l'agrégation de mathématiques), p. 2.
  4. Bekka 2006, p. 4.
  5. (en) J. A. Baker, « Isometries in normed spaces », Amer. Math. Month., vol. 78,‎ , p. 655-658 (DOI 10.2307/2316577).
  6. (en) N. J. Kalton, « An elementary example of a Banach space not isomorphic to its complex conjugate », Canad. Math. Bull., vol. 38,‎ , p. 218-222 (arXiv math/9402207).
  7. (en) Henryk Toruńczyk, « Characterizing Hilbert space topology », Fund. Math., vol. 111,‎ , p. 247-262 (lire en ligne).

Voir aussi

Article connexe

Problème d'Aleksandrov-Rassias (en)

Bibliographie
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