Théorème de Specht

Deux matrices ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ sont dites unitairement équivalentes s'il existe une matrice unitaire U telle que ${\displaystyle B=U^{*}\!AU}$[2]. Deux matrices unitairement équivalentes sont également semblables. Deux matrices semblables représentent la même application linéaire, mais par rapport à une base différente ; l'équivalence unitaire correspond au passage d'une base orthonormée à une autre base orthonormée.

Si A et B sont unitairement équivalentes, alors ${\displaystyle \operatorname {tr} AA^{*}=\operatorname {tr} BB^{*}}$, où ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ désigne la trace ; en d'autres termes, la norme de Frobenius est un invariant unitaire. Ceci résulte de l'invariance cyclique de la trace : si ${\displaystyle B=U^{*}\!AU}$, alors ${\displaystyle \operatorname {tr} BB^{*}=\operatorname {tr} U^{*}\!AUU^{*}\!A^{*}U=\operatorname {tr} AUU^{*}\!A^{*}UU^{*}=\operatorname {tr} AA^{*}}$, où la seconde égalité est l'invariance cyclique[3].

Ainsi, l'égalité ${\displaystyle \operatorname {tr} AA^{*}=\operatorname {tr} BB^{*}}$ est une condition nécessaire à l'équivalence unitaire, mais elle n'est pas suffisante. Le théorème de Specht donne une infinité de conditions nécessaires qui, ensemble, sont également suffisantes. La formulation du théorème utilise la définition suivante. Un mot en deux variables x et y, est une expression de la forme

${\displaystyle W(x,y)=x^{m_{1}}y^{n_{1}}x^{m_{2}}y^{n_{2}}\cdots x^{m_{p}},}$

où ${\displaystyle m_{1},n_{1},m_{2},n_{2},\ldots ,m_{p}}$ sont des nombres entiers positifs. La longueur d'un mot est la somme de ses exposants :

${\displaystyle m_{1}+n_{1}+m_{2}+n_{2}+\cdots +m_{p}.}$

Le théorème donne un nombre infini d'identités de traces, mais cet ensemble peut être réduit à un sous-ensemble fini. Soit n la taille des matrices ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ . Pour le cas ${\displaystyle n=2}$, les trois conditions suivantes sont suffisantes[5]  :

${\displaystyle \operatorname {tr} A=\operatorname {tr} B,\quad \operatorname {tr} A^{2}=\operatorname {tr} B^{2},\quad }$ et ${\displaystyle \quad \operatorname {tr} AA^{*}=\operatorname {tr} BB^{*}.}$

Pour n = 3, les sept conditions suivantes sont suffisantes[6]  :

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {tr} A=\operatorname {tr} B,\quad \operatorname {tr} A^{2}=\operatorname {tr} B^{2},\quad \operatorname {tr} AA^{*}=\operatorname {tr} BB^{*},\quad \operatorname {tr} A^{3}=\operatorname {tr} B^{3},\\&\operatorname {tr} A^{2}A^{*}=\operatorname {tr} B^{2}B^{*},\quad \operatorname {tr} A^{2}(A^{*})^{2}=\operatorname {tr} B^{2}(B^{*})^{2},\quad \operatorname {tr} A^{2}(A^{*})^{2}AA^{*}=\operatorname {tr} B^{2}(B^{*})^{2}BB^{*}.\end{aligned}}}$ 

Pour n quelconque, il suffit[7] de montrer que ${\displaystyle \operatorname {tr} W(A,A^{*})=\operatorname {tr} W(B,B^{*})}$pour tous les mots de longueur au plus

${\displaystyle n{\sqrt {{\frac {2n^{2}}{n-1}}+{\frac {1}{4}}}}+{\frac {n}{2}}-2}$.

Il a été conjecturé[8] que cette expression peut être réduite à une expression linéaire en n .

Des développements du théorème ont été donnés dans des cas plus généraux[9]^,[10].

• (en) Dragomir Ž. Đoković et Charles R. Johnson, « Unitarily achievable zero patterns and traces of words in A and A* », Linear Algebra and its Applications, vol. 421, n^o 1,‎ 2007, p. 63-68 (DOI 10.1016/j.laa.2006.03.002).
• (en) Allen R. Freedman, Ram Niwas Gupta et Robert M. Guralnick, « Shirshov's theorem and representations of semigroups », Pacific Journal of Mathematics, vol. 181, n^o 3,‎ 1997, p. 159-176 (ISSN 0030-8730, DOI 10.2140/pjm.1997.181.159)
• (en) Vyacheslav Futorny, Roger A. Horn et Vladimir V. Sergeichuk, « Specht's criterion for systems of linear mappings », Linear Algebra and its Applications, vol. 519,‎ 2017, p. 278-295 (DOI 10.1016/j.laa.2017.01.006)
• (en) Roger A. Horn et Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985 (ISBN 978-0-521-38632-6).
• (en) Laurent W. Marcoux et Yuanhang Zhang, « On Specht's Theorem in UHF C⁎-algebras », Journal of Functional Analysis (en), vol. 280, n^o 1,‎ 2021, article n^o 108778 (DOI 10.1016/j.jfa.2020.108778)
• (en) Christopher J. Pappacena, « An upper bound for the length of a finite-dimensional algebra », Journal of Algebra, vol. 197, n^o 2,‎ 1997, p. 535-545 (DOI 10.1006/jabr.1997.7140).
• (ru) K. S. Sibirskiǐ, Algebraic Invariants of Differential Equations and Matrices, Izdat. "Štiinca", Kishinev, 1976.
• (de) Wilhelm Specht, « Zur Theorie der Matrizen. II », Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, vol. 50,‎ 1940, p. 19-23 (lire en ligne).

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