Théorème de Roth

En mathématiques, le théorème de Roth, ou théorème de Thue-Siegel-Roth, est un énoncé de théorie des nombres, concernant plus particulièrement l'approximation diophantienne.

Le résultat est le suivant[1] :

Pour tout nombre irrationnel algébrique α et pour tout ε > 0, l'inéquation d'inconnues q > 0 et p entiers :

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2+\varepsilon }}}\,}$

n'a qu'un nombre fini de solutions (ce n'est plus le cas pour ε = 0, d'après le théorème d'approximation de Dirichlet).

Ou encore, sous les mêmes hypothèses[2]^,[3] : il existe une constante A > 0 (dépendant de α et ε) telle que

${\displaystyle \forall p\in \mathbb {Z} ,\forall q\in \mathbb {N} ^{*}\quad \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\geq {\frac {A}{q^{2+\varepsilon }}}.}$

Ceci signifie que la mesure d'irrationalité d'un nombre irrationnel algébrique est égale à 2 et permet, par contraposition, de montrer la transcendance de certains nombres (cependant, le nombre e, qui est transcendant, échappe à ce critère[2] : sa mesure d'irrationalité est égale à 2). Ce théorème est d'ailleurs une généralisation du théorème de Liouville qui avait été historiquement le premier critère de transcendance connu.

Ce résultat a valu à Klaus Roth[4] la médaille Fields en 1958.