Théorème de Vinogradov

Soit A un nombre réel positif. Alors[2]

${\displaystyle r(N)={1 \over 2}G(N)N^{2}+O\left(N^{2}\log ^{-A}N\right)}$,

où

${\displaystyle r(N)=\sum _{k_{1}+k_{2}+k_{3}=N}\Lambda (k_{1})\Lambda (k_{2})\Lambda (k_{3})}$,

où ${\displaystyle \Lambda }$ est la fonction de von Mangoldt et où G(N) est le produit eulérien suivant :

${\displaystyle G(N)=\left(\prod _{p\mid N}\left(1-{1 \over {\left(p-1\right)}^{2}}\right)\right)\left(\prod _{p\nmid N}\left(1+{1 \over {\left(p-1\right)}^{3}}\right)\right)}$.

Pour N pair, G(N) = 0 et l'estimation de r(N) fournie par le théorème est moins fine que d'autres déjà connues. À l'opposé, pour N impair, l'infimum des G(N) est > 0, si bien que le théorème prouve l'existence d'une constante C > 0 telle que pour tout N impair, r(N) ≥ CN². On isole alors dans r(N) la partie R(N) de la série dans laquelle k₁, k₂ et k₃ sont tous les trois premiers, et l'on montre que le reste (r – R)(N) est de l'ordre de O(N^3/2log²N). Or si l'on note s(N) le nombre de façons d'écrire N comme somme de trois nombres premiers, on a trivialement R(N) ≤ s(N)log³N. Pour toute constante strictement positive D < C on obtient donc, pour tout N impair suffisamment grand :

${\displaystyle s(N)\geq R(N)\log ^{-3}N\geq (CN^{2}-O(N^{3/2}\log ^{2}N))\log ^{-3}N\geq DN^{2}\log ^{-3}N>0}$.

Par conséquent, un tel N peut être écrit comme la somme de trois nombres premiers, ce qui démontre la conjecture faible de Goldbach dans tous les cas, sauf dans un nombre fini de cas.

Un seuil au-delà duquel un nombre est « suffisamment grand » pour vérifier la conjecture n'était pas explicitement quantifié dans l'énoncé du théorème de Vinogradov. La démonstration originelle de Vinogradov s'appuyait sur le théorème de Siegel-Walfisz (en), ce qui ne donnait pas de moyens de calculer un tel seuil.

Konstantin Borozdkin, un élève de Vinogradov, trouva en 1956 un seuil de ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{16{,}038}}\approx 3^{3^{15}}}$.

Un seuil de 3,33 × 10^43 000 fut démontré par Wang Yuan et Chen Jingrun en 1989, puis abaissé à 2 × 10^1 346 par Liu Ming-Chit et Wang Tian-Ze[3] en 2002.

Si l'on pouvait montrer que tout nombre impair inférieur à ce seuil est somme de trois nombres premiers impairs, la conjecture faible de Goldbach serait démontrée. Néanmoins, l'exposant a encore besoin d'être réduit d'une bonne quantité avant qu'il soit techniquement possible de vérifier simplement chaque nombre inférieur au seuil.