Théorème de Wittenbauer

En géométrie, le parallélogramme de Wittenbauer est un parallélogramme obtenu à partir d'un quadrilatère quelconque en découpant chaque côté de celui-ci en trois segments de même taille et en traçant les droites passant par deux points adjacents à un même sommet.

Parallélogramme de Wittenbauer- cas d'un quadrilatère convexe

Il porte le nom de l'ingénieur autrichien Ferdinand Wittenbauer (de).

À ce parallélogramme est associé le théorème de Wittenbauer qui précise que, dans le cas d'un quadrilatère ABCD non croisé, les centres de masse du parallélogramme et du quadrilatère, considérés comme des plaques homogènes, sont confondus.

Parallélogramme de Wittenbauer

D'après le théorème de Thalès, les droites joignant deux points adjacents d'un même sommet sont toujours parallèles à la diagonale opposée à ce sommet. Les droites ainsi construites sont deux à deux parallèles et dessinent un parallélogramme pour peu que les diagonales soient sécantes. C'est le cas pour tous les quadrilatères non croisés et pour les quadrilatères croisés non associés à un trapèze.

Parallélogramme de Wittenbauer- cas d'un quadrilatère non convexe

Parallélogramme de Wittenbauer- cas d'un quadrilatère croisé

De plus, le centre du parallélogramme, le point d'intersection des diagonales et l'isobarycentre du quadrilatère de départ sont alignés.

Parallélogramme de Wittenbauer- Alignement de I intersection des diagonales, O centre du parallélogramme et G isobarycentre des points A, B, C et D

En effet, on peut prouver aisément, en utilisant le théorème de Thalès, que :

{\overrightarrow {IP}}={\frac {2}{3}}{\overrightarrow {IA}}+{\frac {2}{3}}{\overrightarrow {IB}}

et que

{\overrightarrow {IR}}={\frac {2}{3}}{\overrightarrow {IC}}+{\frac {2}{3}}{\overrightarrow {ID}}

.

Comme

{\overrightarrow {IO}}={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {IP}}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {IR}}

,

on a

{\overrightarrow {IO}}={\frac {1}{3}}{\overrightarrow {IA}}+{\frac {1}{3}}{\overrightarrow {IB}}+{\frac {1}{3}}{\overrightarrow {IC}}+{\frac {1}{3}}{\overrightarrow {ID}}={\frac {4}{3}}{\overrightarrow {IG}}

,

Enfin, l'aire du parallélogramme est toujours égale aux huit neuvièmes de l'aire du quadrilatère convexe de départ.

Théorème de Wittenbauer

Dans le cas d'un quadrilatère non croisé, le centre de masse du quadrilatère considéré comme une plaque homogène coïncide avec le centre du parallélogramme de Wittenbauer.

Parallélogramme et triangle de même centre de gravité

Le principe de la démonstration réside dans l'observation suivante : dans la figure ci-contre, le centre de gravité G₁ du triangle ABD est confondu avec le centre du parallélogramme PP'S'S. En effet, G₁ est situé au milieu du segment [MN] qui se trouve être aussi une médiane du parallélogramme PP'S'S.

Les propriétés d'addition et de soustraction des centre de masse permettent de dire que les centres de masse du quadrilatère ABCD et du parallélogramme PQRS sont des barycentres de G₁ et G₂ (centre de gravité de CBD). Ils sont donc situés sur la droite (G₁ et G₂). Ils sont situés de même sur la droite (G₃ et G₄) joignant les centres de gravités des triangles BCA et DCA. Ils sont donc situés à l’intersection de ces deux droites et sont donc confondus.

Sources

(en) « Wittenbauer theorem », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
(en) Eric W. Weisstein, « Wittenbauer's Parallelogram », sur MathWorld
(en) Eric W. Weisstein, « Wittenbauer's Theorem », sur MathWorld
Parallélogramme de Wittenbauer, activité TICE proposée par l'IREM de Lille

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