Théorème de la goutte

Le théorème de la goutte est un théorème d'analyse fonctionnelle, démontré par Josef Daneš en 1972[1],[2],[3],[4] puis généralisé en 1985[5].

Dans un espace vectoriel réel, on définit la « goutte » D(x, C), associée à un point x et un convexe C, comme l'enveloppe convexe de {x}∪C. Le théorème généralisé s'énonce alors ainsi[6],[7] :

Dans un espace de Banach, soient B un convexe fermé borné non vide et F un fermé à distance non nulle[8] de B.

Pour tout point f du fermé F, il existe un point x de D(f, B) tel que F∩D(x, B) = {x}.

Théorèmes équivalents

Le théorème de la goutte est équivalent, entre autres[5], au principe variationnel d'Ekeland et au « théorème du pétale »[9], qui s'énonce comme suit, en définissant un « pétale » Pγ(x, y) comme l'ensemble des points z tels que γd(z, x) + d(z, y) ≤ d(x, y) :

Pour toute partie complète A d'un espace métrique X, tout point a de A, tout point b de X\A et tout réel γ > 0, il existe un point x du pétale Pγ(a, b) tel que Pγ(x, b)∩A = {x}.

Plus précisément :

  • le théorème de la goutte non généralisé implique le principe d'Ekeland[5] ;
  • le principe d'Ekeland implique le théorème du pétale[10] ;
  • le théorème du pétale implique le théorème de la goutte, simple[4] ou généralisé[11],[12].

On peut s'étonner qu'un théorème purement métrique, comme celui du pétale ou d'Ekeland, se déduise d'un théorème sur les espaces vectoriels normés. Cela résulte du plongement de Kuratowski[13].

Notes et références
  1. (en) Josef Daneš, « A geometric theorem useful in nonlinear functional analysis », Boll. Un. Mat. Ital., vol. 4, no 6,‎ , p. 369-375.
  2. Dans cette première version, B est une boule fermée et le point x, au lieu d'appartenir à une goutte dépendant d'un point du fermé (non vide) F, appartient à une boule de même centre c que B et de rayon arbitrairement proche de d(c, F).
  3. (en) Georgiana Goga, « Some equivalent geometrical results with Ekeland's variational principle », An. Şt. Univ. Ovidius Constanța, vol. 13, no 1,‎ , p. 79-88 (lire en ligne), Theorem 2.4.
  4. (en) Jonathan M. Borwein et Qiji J. Zhu, Techniques of Variational Analysis, New York, Springer, (ISBN 978-0-387-28271-8, lire en ligne), chap. 2, § 2 (« Geometric Forms of the Variational Principle »), p. 13, Theorem 2.2.4.
  5. (en) Josef Daneš, « Equivalence of some geometric and related results of nonlinear functional analysis », Comment. Math. Univ. Carolin., vol. 26,‎ , p. 443-454 (lire en ligne).
  6. Goga 2005, p. 82, Theorem 2.5.
  7. (en) Zdzislaw Denkowski, Stanislaw Migórski et Nikolaos S. Papageorgiou, An Introduction to Nonlinear Analysis : Applications, vol. 2, Springer, , 823 p. (ISBN 978-0-306-47456-9, lire en ligne), p. 102, Theorem 1.7.8 (pour B une boule fermée, et en rectifiant une coquille flagrante).
  8. Il ne suffit pas pour cela que F soit disjoint de B.
  9. (en) Jean-Paul Penot, « The drop theorem, the petal theorem and Ekeland's variational principle », Nonlinear Anal.-theor. Meth. App., vol. 10, no 9,‎ , p. 813-822 (DOI 10.1016/0362-546X(86)90069-6).
  10. Goga 2005, p. 83, Proposition 3.2 ou Borwein et Zhu 2006, p. 11-12, Theorem 2.2.2.
  11. Goga 2005, p. 83-84, Proposition 3.3.
  12. Daneš 1985 déduit directement son théorème (généralisé) du principe d'Ekeland.
  13. Daneš 1985, p. 450.

Voir aussi

Article connexe

Théorème de Bishop-Phelps (en)

Bibliographie
  • (en) Pando G. Georgiev, « The strong Ekeland variational principle, the strong Drop theorem and applications », J. Math. Anal. Appl., vol. 131, no 1,‎ , p. 1-21 (DOI 10.1016/0022-247X(88)90187-4)
  • (en) Andreas H. Hamel, « Phelps' Lemma, Danes' Drop Theorem and Ekeland's Principle in Locally Convex Topological Vector Spaces », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 131, no 10,‎ , p. 3025-3038 (lire en ligne)
  • (en) Cheng Lixin, Zhou Yunchi et Zhang Fong, « Danes' Drop Theorem in locally convex spaces », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 124,‎ , p. 3699-3702 (lire en ligne)
  • (en) Stefan Rolewicz, « On drop property », Studia Math., vol. 85,‎ , p. 27-37 (lire en ligne)
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