Théorème des ultraparallèles

En géométrie hyperbolique, deux droites peuvent être sécantes, parallèles asymptotes (elles ont un point à l'infini commun), ou ultraparallèles.

Modèle du disque de Poincaré : les droites rose et bleue sont ultraparallèles ; les droites vertes sont deux parallèles asymptotes à la droitre bleue.

Le théorème des ultraparallèles affirme que tout couple de droites ultraparallèles possède une unique perpendiculaire commune (c'est-à-dire une droite coupant à angle droit les deux autres).

Construction de Hilbert

Soit r et s deux droites ultraparallèles. Prenant deux points distincts A et C sur s, on appelle B et B' leurs projections orthogonales sur r.

Si AB = CB', par symétrie, la droite des milieux de AC et BB' est la perpendiculaire commune cherchée.

Sinon, on peut supposer que AB < CB' . Soit E un point de s tel que A soit entre E et C. On prend A' sur CB' tel que A'B' = AB. Partant de A', on trace une demi-droite s' du côté de E, telle que l'angle B'A'E' soit égal à l'angle BAE. s' et s se coupent en un point (ordinaire) D'. On prend D sur la demi-droite AE tel que AD = A'D'. On a D' ≠ D, les deux points sont sur s et à la même distance de r, donc la médiatrice de DD' est la perpendiculaire commune cherchée[1]. L'unicité de la perpendiculaire résulte de ce qu'il est impossible de construire un rectangle en géométrie hyperbolique. D'autre part, si r et s étaient parallèles asymptotes, la construction échouerait, parce que les droites s' et s seraient également parallèles asymptotes.

Modèle de Beltrami-Klein

Dans le modèle de Beltrami-Klein, deux ultraparallèles sont des cordes ne se coupant pas à l'intérieur du cercle unité ; on démontre que la perpendiculaire commune cherchée est la polaire par rapport au cercle de leur point d'intersection (ou de leur point à l'infini si elles sont parallèles)[2].

Références
  1. (en) Harold Coxeter, Non-euclidean Geometry, 190–192 p. (ISBN 978-0-88385-522-5)
  2. (en) William Thurston, Three-Dimensional Geometry and Topology, page 72.
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