Théorème porte-manteau

Si

${\displaystyle \lim _{n}\mathbb {E} \left[\varphi (X_{n})\right]\ =\ \mathbb {E} \left[\varphi (X)\right]}$

est vrai pour toute fonction ${\displaystyle \varphi }$ bornée et continue sur E, alors cela est vrai en particulier pour toute fonction ${\displaystyle \varphi }$ bornée et uniformément continue sur E.

Soit F un fermé de E. Pour tout ${\displaystyle k\geq 1}$, on note

Représentation graphique de l'application ${\displaystyle f}$.

${\displaystyle F_{k}\$ :=\ \left\{x\in E\mid d(x,F)\leq {\tfrac {1}{k}}\right\}} .

De plus, pour tout ${\displaystyle x\in E}$ et ${\displaystyle k>0}$, on pose

${\displaystyle \varphi _{k}(x)\$ :=\ f\left(k\,d(x,F)\right)=\ {\begin{cases}1-k\,d(x,F)&{\textrm {si}}\ x\in F_{k}\\0&{\textrm {si}}\ x\notin F_{k}\end{cases}}}

où ${\displaystyle f}$ est définie par la figure ci-contre. Ainsi,

${\displaystyle 1_{F}\ \leq \ \varphi _{k}\ \leq \ 1_{F_{k}}}$.

Puisque ${\displaystyle 1_{F}\ \leq \ \varphi _{k}}$, on a

${\displaystyle \limsup _{n}\mathbb {P} \left(X_{n}\in F\right)\leq \ \limsup _{n}\mathbb {E} \left[\varphi _{k}(X_{n})\right]}$.

Comme les fonctions ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle x\mapsto d(x,F)}$ sont 1-lipschitziennes, ${\displaystyle \varphi _{k}}$ est uniformément continue, et d'après l'hypothèse 2

${\displaystyle \limsup _{n}\mathbb {E} \left[\varphi _{k}(X_{n})\right]\ =\ \lim _{n}\mathbb {E} \left[\varphi _{k}(X_{n})\right]\ =\ \mathbb {E} \left[\varphi _{k}(X)\right]}$.

De ${\displaystyle \varphi _{k}\ \leq \ 1_{F_{k}}\ }$, on déduit que

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\varphi _{k}(X)\right]\leq \mathbb {P} \left(X\in F_{k}\right)}$.

Par conséquent, pour tout ${\displaystyle k\geq 1}$,

${\displaystyle \limsup _{n}\mathbb {P} \left(X_{n}\in F\right)\leq \ \mathbb {P} \left(X\in F_{k}\right)}$.

Enfin, comme ${\displaystyle (F_{k})_{k}}$ est décroissante et comme ${\displaystyle \bigcap _{k\geq 1}F_{k}={\overline {F}}=F}$, on a

${\displaystyle \inf _{k}\mathbb {P} \left(X\in F_{k}\right)\ =\ \lim _{k}\mathbb {P} \left(X\in F_{k}\right)\ =\ \mathbb {P} \left(X\in F\right)}$,

d'où le résultat.

Supposons le point 3 vrai, et considérons un ouvert O de E. Alors O^c est un fermé et on a, en vertu, entre autres, du point 3 :

${\displaystyle {\begin{aligned}\liminf _{n}\mathbb {P} \left(X_{n}\in {\mathcal {O}}\right)&=\liminf _{n}\left(1-\mathbb {P} \left(X_{n}\in {\mathcal {O}}^{c}\right)\right)\\&=1-\limsup _{n}\mathbb {P} \left(X_{n}\in {\mathcal {O}}^{c}\right)\\&\geq \ 1-\mathbb {P} \left(X\in {\mathcal {O}}^{c}\right)\\&=\mathbb {P} \left(X\in {\mathcal {O}}\right).\end{aligned}}}$

La démonstration de « 4 implique 3 » est identique.

Soit A un borélien de E tel que

${\displaystyle \mathbb {P} \left(X\in \partial A\right)=0}$.

Comme

${\displaystyle {\stackrel {\ \circ }{A}}\subset A\subset {\overline {A}}={\stackrel {\ \circ }{A}}\cup \partial A}$,

on en déduit que

${\displaystyle \mathbb {P} \left(X\in {\overline {A}}\right)\ =\ \mathbb {P} \left(X\in A\right)\ =\ \mathbb {P} \left(X\in {\stackrel {\ \circ }{A}}\right)}$.

Or, d'après le point 3

${\displaystyle \limsup _{n}\mathbb {P} \left(X_{n}\in A\right)\leq \limsup _{n}\mathbb {P} \left(X_{n}\in {\overline {A}}\right)\leq \mathbb {P} \left(X\in {\overline {A}}\right)}$

et d'après le point 4

${\displaystyle \liminf _{n}\mathbb {P} \left(X_{n}\in A\right)\geq \liminf _{n}\mathbb {P} \left(X_{n}\in {\stackrel {\ \circ }{A}}\right)\geq \mathbb {P} \left(X\in {\stackrel {\ \circ }{A}}\right)}$.

Finalement,

${\displaystyle \lim _{n}\mathbb {P} \left(X_{n}\in A\right)=\mathbb {P} \left(X\in A\right)}$.

Commençons par traiter le cas où ${\displaystyle \psi }$ est une fonction continue et bornée, telle que ${\displaystyle 0<\psi <1}$. Alors :

• comme ${\displaystyle 0<\psi <1}$[2],${\displaystyle \mathbb {E} \left[\psi (X)\right]=\int _{0}^{1}\mathbb {P} \left[\psi (X)>x\right]\,\mathrm {d} x}$ et de même pour les ${\displaystyle X_{n}}$ ;
• comme ${\displaystyle \psi }$ est continue[3], ${\displaystyle \partial \psi ^{-1}(\left]x,+\infty \right[)\subset \psi ^{-1}(\left\{x\right\})}$ donc[4]${\displaystyle \mathbb {P} \left(X\in \partial \psi ^{-1}(\left]x,+\infty \right[)\right)=0}$ sauf pour un ensemble au plus dénombrable ${\displaystyle D_{0}}$ de valeurs de ${\displaystyle x}$et de même, pour tout ${\displaystyle n\geq 1}$,${\displaystyle \mathbb {P} \left(X_{n}\in \partial \psi ^{-1}(\left]x,+\infty \right[)\right)=0}$ sauf pour un ensemble au plus dénombrable ${\displaystyle D_{n}}$ de valeurs de ${\displaystyle x}$.

L'ensemble ${\displaystyle \cup _{n\geq 0}D_{n}}$ est au plus dénombrable donc Lebesgue-négligeable. Par conséquent, en vertu du point 5 :

pour presque tout ${\displaystyle x\in \left[0,1\right]}$, ${\displaystyle \mathbb {P} \left[\psi (X_{n})>x\right]\to \mathbb {P} \left[\psi (X)>x\right]}$.

On conclut par convergence dominée :

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\psi (X_{n})\right]=\int _{0}^{1}\mathbb {P} \left[\psi (X_{n})>x\right]\,\mathrm {d} x\to \int _{0}^{1}\mathbb {P} \left[\psi (X)>x\right]\,\mathrm {d} x=\mathbb {E} \left[\psi (X)\right]}$.

Enfin, dans le cas général, pour une fonction continue bornée ${\displaystyle \varphi }$, telle que ${\displaystyle a<\varphi <b}$, on se ramène au cas précédent en posant

${\displaystyle \psi \$ :=\ {\frac {\varphi -a}{b-a}}}

de sorte que ${\displaystyle 0<\psi <1}$.