Théorie de Picard-Lefschetz

En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, la théorie de Picard-Lefschetz est un ensemble de techniques permettant d’étudier la topologie des variétés complexes à l'aide des points critiques de fonctions holomorphes définies sur la variété. Elle fut construite en 1897 par Émile Picard pour les surfaces (les variétés de dimension 2)[1], et étendue aux dimensions supérieures par Solomon Lefschetz en 1924[2]. C'est un analogue complexe de la théorie de Morse, laquelle utilise les mêmes techniques pour étudier les variétés réelles. Pierre Deligne et Nicholas Katz ont encore étendu la théorie à des variétés sur des corps quelconques[3], et Deligne a utilisé cette généralisation dans sa preuve des conjectures de Weil en 1974.

La formule de Picard-Lefschetz

La formule de Picard-Lefschetz décrit la monodromie autour d'un point critique.

Soit f une fonction holomorphe définie sur une variété projective complexe de dimension (k+1) et à valeurs dans la droite projective P¹. On suppose que tous ses points critiques, d'images x₁,...,x_n dans P¹, sont non dégénérés et sont dans des fibres distinctes. Si x est un point de P¹ distinct des x_i, le groupe fondamental π₁(P¹ – {x₁, ..., x_n}, x) est engendré par des lacets w_i autour des points x_i, et pour chaque point x_i il y a un cycle évanouissant (en) dans le groupe d'homologie H_k(Y_x) de la fibre en x (il s'agit du groupe médian, puisque la fibre est de dimension complexe k, donc de dimension réelle 2k). L'action de la monodromie de π₁(P¹ – {x₁, ..., x_n}, x) sur H_k(Y_x) est alors décrite par la formule de Picard–Lefschetz (les actions sur les autres groupes d'homologie sont triviales) ; plus précisément, l'action d'un générateur w_i du groupe fondamental sur $\gamma$ ∈ H_k(Y_x) est donnée par

w_{i}(\gamma )=\gamma +(-1)^{(k+1)(k+2)/2}\langle \gamma ,\delta _{i}\rangle \delta _{i}

,

où δ_i est le cycle évanouissant correspondant à x_i[4].

Exemple

Soit la famille projective de courbes hyperelliptiques de genre $g$ définies par

y^{2}=(x-t)(x-a_{1})\cdots (x-a_{k})

,

où $t\in \mathbb {A} ^{1}$ est le paramètre et $k=2g+1$ . Ces courbes sont dégénérées pour $t=a_{i}$ . La courbe étant (topologiquement) une somme connexe de $g$ tores, la forme d'intersection sur $H_{1}$ d'une courbe générique est donnée par la matrice

{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}^{\oplus g}={\begin{bmatrix}0&1&0&0&\cdots &0&0\\1&0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&1&\cdots &0&0\\0&0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &0&1\\0&0&0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}

la formule de Picard-Lefschetz formula autour d'une dégénérescence de $\mathbb {A} _{t}^{1}$ se calcule aisément : si $\gamma ,\delta$ sont les $1$ -cycles du $j$ -ème tore, la formule devient $w_{j}(\gamma )=\gamma -\delta$ si le $j$ -ème tore contient le cycle évanouissant ; sinon, $w_{j}(\gamma )$ est l'application identité.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Picard–Lefschetz theory » (voir la liste des auteurs).

É. Picard et G. Simart, Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes. Tome I, Paris: Gauthier-Villars et Fils., 1897 (lire en ligne)
S. Lefschetz, L'analysis situs et la géométrie algébrique, Gauthier-Villars, 1924 (Math Reviews 0033557)
Pierre Deligne et Nicholas Katz, Groupes de monodromie en géométrie algébrique. II, vol. 340, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics », 1973 (ISBN 978-3-540-06433-6, DOI 10.1007/BFb0060505, Math Reviews 0354657)
Cette formule est donnée (implicitement) par Picard dans le cas k = 2, et sans calcul des coeficients de δ_i (Picard et Simart 1897, p.95) ; le cas général, avec le calcul des coefficients, est traité dans Lefschetz 1924, chapitres II, V.

Bibliographie

(en) Klaus Lamotke, « The topology of complex projective varieties after S. Lefschetz », Topology, vol. 20, n^o 1,‎ 1981, p. 15–51 (ISSN 0040-9383, DOI 10.1016/0040-9383(81)90013-6 , Math Reviews 592569)
(en) Solomon Lefschetz, Applications of algebraic topology. Graphs and networks, the Picard-Lefschetz theory and Feynman integrals, vol. 16, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Applied Mathematical Sciences », 1975 (ISBN 978-0-387-90137-4, Math Reviews 0494126, lire en ligne)
(en) Viktor Vassiliev, Applied Picard–Lefschetz theory, vol. 97, Providence, R.I., American Mathematical Society, coll. « Mathematical Surveys and Monographs », 2002 (ISBN 978-0-8218-2948-6, DOI 10.1090/surv/097, Math Reviews 1930577)

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[1] É. Picard et G. Simart, Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes. Tome I, Paris: Gauthier-Villars et Fils., 1897 (lire en ligne)

[2] S. Lefschetz, L'analysis situs et la géométrie algébrique, Gauthier-Villars, 1924 (Math Reviews 0033557)

[3] Pierre Deligne et Nicholas Katz, Groupes de monodromie en géométrie algébrique. II, vol. 340, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics », 1973 (ISBN 978-3-540-06433-6, DOI 10.1007/BFb0060505, Math Reviews 0354657)

[4] Cette formule est donnée (implicitement) par Picard dans le cas k = 2, et sans calcul des coeficients de δ_i (Picard et Simart 1897, p.95) ; le cas général, avec le calcul des coefficients, est traité dans Lefschetz 1924, chapitres II, V.