Théorie k-catégorique

En logique mathématique, une théorie est dite k-catégorique pour un nombre cardinal k si elle a exactement un modèle de cardinalité k (à isomorphisme près).

Théorème de Łoś-Vaught

Énoncé

Théorème de Łoś (pl)-Vaught — Toute théorie sans modèle fini qui est k-catégorique pour un certain cardinal k (infini) au moins égal à celui de son langage est complète.

Exemples de telles théories complètes

La théorie des ensembles infinis est k-catégorique pour tout cardinal k infini.
C'est une théorie du premier ordre en calcul des prédicats égalitaire pur qui comporte une infinité dénombrable d'axiomes, soit pour tout entier n ≥ 1 l'axiome « il existe au moins n éléments distincts » :

$\exists x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\qquad \wedge _{1\leq i<j\leq n}~\neg (x_{i}=x_{j})$ .
Les quatre théories des ensembles densément ordonnés pour lesquels on précise s'ils ont ou non un premier ou un dernier élément[1] sont ℵ₀-catégoriques (en) et leurs modèles dénombrables sont isomorphes respectivement aux ensembles ordonnés de rationnels
$\left]0,1\right[\cap \mathbb {Q} ,\qquad \left[0,1\right[\cap \mathbb {Q} ,\qquad \left]0,1\right]\cap \mathbb {Q} ,\qquad \left[0,1\right]\cap \mathbb {Q}$ .

Théorème de Morley

Théorème de Morley — Si une théorie dans un langage au plus dénombrable est k-catégorique pour un certain cardinal k strictement supérieur au dénombrable, alors elle l'est pour tous.

Notes et références

Voir aussi la démonstration que ces théories sont complètes par la méthode, autre, de l'élimination des quantificateurs, in Jean-Louis Krivine et Georg Kreisel, Éléments de logique mathématique, Théorie des modèles, Dunod 1967, p. 47-50, pdf ; ce résultat est également lié à un théorème bien connu, dû à Cantor.

Voir aussi

Bibliographie

(en) Dirk van Dalen (de), Logic and Structure, "chap. 3.3 Some model theory", Springer-Verlag, 1991.

Article connexe

Théorème de Löwenheim-Skolem

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[1] Voir aussi la démonstration que ces théories sont complètes par la méthode, autre, de l'élimination des quantificateurs, in Jean-Louis Krivine et Georg Kreisel, Éléments de logique mathématique, Théorie des modèles, Dunod 1967, p. 47-50, pdf ; ce résultat est également lié à un théorème bien connu, dû à Cantor.