Transformation équiaréale

Soient ${\displaystyle S_{1}}$ et ${\displaystyle S_{2}}$ deux surfaces de l'espace euclidien R³, f un difféomorphisme local de ${\displaystyle S_{1}}$ sur ${\displaystyle S_{2}}$ ; f est dite équiaréale si l'une quelconque des conditions équivalentes suivantes est réalisée [1] :

• L'aire de f(U) est égale à l'aire de U pour tout ouvert U dans ${\displaystyle S_{1}}$ .
• L'image réciproque de l'élément d'aire ${\displaystyle \mu _{S_{2}}}$ sur ${\displaystyle S_{2}}$ est égal à ${\displaystyle \mu _{S_{1}}}$, l'élément d'aire sur ${\displaystyle S_{1}}$ .
• En tout point m de ${\displaystyle S_{1}}$, et tous vecteurs v et w tangents à ${\displaystyle S_{1}}$ en m,

${\displaystyle ||df_{m}(v)\land df_{m}(w)||=||v\land w||\,}$

où ${\displaystyle \land }$ désigne le produit vectoriel et df la différentielle de f .

Si ${\displaystyle S_{1}}$ est paramétrée par ${\displaystyle \sigma _{1}(u,v)}$, et ${\displaystyle \sigma _{2}=f\circ \sigma _{1}}$, la condition s'écrit donc : ${\displaystyle \left\Vert {\frac {\partial \sigma _{2}}{\partial u}}\land {\frac {\partial \sigma _{2}}{\partial v}}\right\Vert =\left\Vert {\frac {\partial \sigma _{1}}{\partial u}}\land {\frac {\partial \sigma _{1}}{\partial v}}\right\Vert }$ [1].

Un exemple de transformation équiaréale est la projection, dite isocylindrique, de la sphère unité x² + y² + z² = 1 privée des deux pôles ${\displaystyle (0,0,\pm 1)}$, orthogonalement sur le cylindre unité x² + y² = 1 [1] . Une formule explicite est

${\displaystyle f(x,y,z)=\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},z\right)}$

pour tout (x, y, z) de la sphère unité.

Archimède avait déjà démontré que la sphère a la même aire que sa projection sur le cylindre.

Pour une transformation f de R² dans lui-même la condition d'équiaréalité s'écrit ${\displaystyle \left\vert \det \left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\right\vert =1}$.

Les transformations équiaréales du plan dans lui-même sont donc les transformation de jacobien ${\displaystyle \pm 1}$.

Un exemple quadratique est donné par ${\displaystyle f(x,y)=(x^{2}+y^{2}+2xy+x+2y,x^{2}+y^{2}+2xy+y)}$.

Dans le contexte des cartes géographiques, une projection cartographique est dite équivalente, ou authalique, si les rapports des aires sont conservés. Elle est donc équiaréale à un facteur multiplicatif près ; en plongeant de manière évidente dans R³ la carte image, généralement considérée comme un sous-ensemble de R², la condition ci-dessus est alors affaiblie en :

${\displaystyle ||df_{p}(v)\land df_{p}(w)||=K||v\land w||}$

pour un ${\displaystyle K>0}$ ne dépendant pas de ${\displaystyle v}$ et ${\displaystyle w}$.

La sphère unité de R³ étant paramétrée par ${\displaystyle \sigma (\lambda ,\varphi )={\begin{pmatrix}\cos \lambda \cos \varphi \\\sin \lambda \cos \varphi \\\sin \varphi \end{pmatrix}}}$ où ${\displaystyle \lambda }$ est la longitude et ${\displaystyle \varphi }$ la latitude, et la projection étant définie par ${\displaystyle x=x(\lambda ,\varphi ),y=y(\lambda ,\varphi )}$, la condition s'écrit ${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial \lambda }}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{vmatrix}}=\pm K\left\Vert {\frac {\partial \sigma }{\partial \lambda }}\land {\frac {\partial \sigma }{\partial \varphi }}\right\Vert }$, soit ${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial \lambda }}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{vmatrix}}=\pm K\cos \varphi }$[2].

Exemples de projections équivalentes :

• la projection cylindrique de Lambert définie par ${\displaystyle x=\lambda ,y=\sin \varphi }$

• la projection de Peters définie par ${\displaystyle x=\lambda ,y=2\sin \varphi }$

• la projection sinusoïdale définie par ${\displaystyle x=\lambda \cos \varphi ,y=\varphi }$

• la projection azimutale de Lambert

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Equiareal map » (voir la liste des auteurs).

• Matrice jacobienne et déterminant
• Transformation conforme

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