Transformation de Tietze

Une relation qui peut être déduite des relations existantes peut être ajoutée à la présentation sans changer le groupe. Ainsi, soit par exemple ${\displaystyle G=\langle x\mid x^{3}=1\rangle }$ une présentation du groupe cyclique d'ordre 3. Si on multiplie les deux côtés de ${\displaystyle x^{3}=1}$ par ${\displaystyle x^{3}}$, on obtient ${\displaystyle x^{6}=x^{3}(=1)}$, on a donc ${\displaystyle x^{6}=1}$ et cette relation peut être ajoutée sans modifier le groupe, ce qui donne la présentation ${\displaystyle G=\langle x\mid x^{3}=1,\,x^{6}=1\rangle }$ du même groupe.

Si une relation peut être dérivée des autres relations d'une présentation, elle peut être enlevée. Ainsi, on peut enlever la relation ${\displaystyle x^{6}=1}$ de la présentation de ${\displaystyle G=\langle x\mid x^{3}=1\,x^{6}=1\rangle }$ ; en revanche, si on enlève la relation ${\displaystyle x^{3}=1}$, on a la présentation ${\displaystyle G=\langle x\mid x^{6}=1\rangle }$ du groupe cyclique d'ordre 6, ce qui ne définit pas le même groupe.

Pour une présentation donnée, on peut ajouter un générateur qui s'exprime par un mot en les générateurs originaux. Ainsi, en commençant avec ${\displaystyle G=\langle x\mid x^{3}=1\rangle }$, et avec ${\displaystyle y=x^{2}}$, on a une nouvelle présentation ${\displaystyle G=\langle x,y\mid x^{3}=1,y=x^{2}\rangle }$ du même groupe.

Si on peut trouver une relation où un des générateurs est un mot en les autres générateurs, alors ce générateur peut être supprimé. Pour cela, on remplace toutes les occurrences du générateur supprimé par son mot équivalent. Ainsi, la présentation du groupe abélien élémentaire (en) d'ordre 4 ${\displaystyle G=\langle x,y,z\mid x=yz,y^{2}=1,z^{2}=1,x=x^{-1}\rangle }$ peut être remplacée par ${\displaystyle G=\langle y,z\mid x=yz,y^{2}=1,z^{2}=1,yz=(yz)^{-1}\rangle }$ en supprimant ${\displaystyle x}$.