Transgression (mathématiques)
La transgression, en mathématiques, est un outil de la théorie de l'homologie, permettant de transférer les classes de cohomologie d’un espace à un autre même en l’absence de morphisme entre eux. Elle intervient, par exemple, dans la suite exacte de restriction-inflation en cohomologie des groupes et dans l'intégration le long des fibres d’un espace fibré. Elle apparaît aussi naturellement dans l’étude de la suite spectrale d'un groupe différentiel à filtration croissante.
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Suite exacte de restriction-inflation
La transgression apparait dans l'étude de la suite exacte de restriction-inflation, qui est une suite exacte en cohomologie des groupes.
Soit G un groupe, N un sous-groupe normal, et A un groupe abélien sur lequel G opère ; c'est-à-dire qu’il existe un morphisme de G dans le groupe des automorphismes de A. Le groupe quotient G/N agit alors sur AN = { a ∈ A | ga = a pour tout g ∈ N}. La suite exacte de restriction-inflation est :
- 0 → H 1(G/N, AN) → H 1(G, A) → H 1(N, A)G/N → H 2(G/N, AN) → H 2(G, A).
La transgression est l'application H 1(N, A)G/N → H 2(G/N, AN).
La transgression n'est définie pour un n donné supérieur à 1 :
- Hn(N, A)G/N → Hn+1(G/N, AN)
que si Hi(N, A)G/N = 0 pour i ≤ n – 1[1].
Notes et références
- Gille et Szamuely 2006, p. 67.
Bibliographie
- (en) Philippe Gille et Tamás Szamuely, Central Simple Algebras and Galois Cohomology, Cambridge, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics » (no 101), , 343 p. (ISBN 0-521-86103-9, zbMATH 1137.12001)
- (en) Michiel Hazewinkel, Handbook of Algebra, vol. 1, Elsevier, (ISBN 0-444-82212-7), p. 282
- (en) Helmut Koch, Algebraic Number Theory, Berlin, Springer-Verlag, coll. « Encycl. Math. Sci. » (no 62), , 2e impression de la 1re éd., 269 p. (ISBN 3-540-63003-1, zbMATH 0819.11044)
- (en) Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt et Kay Wingberg, Cohomology of Number Fields, Springer-Verlag, coll. « Grund. math. Wiss. » (no 323), , 2e éd., 826 p. (ISBN 978-3-540-37888-4 et 3-540-37888-X, zbMATH 1136.11001, lire en ligne), p. 112-113
- (en) Peter Schmid, The Solution of the K(GV) Problem, Imperial College Press, coll. « Advanced Texts in Mathematics » (no 4), (ISBN 978-1-86094-970-8 et 1-86094-970-3), p. 214
- (en) Jean-Pierre Serre (trad. du français par Jay Greenberg), Local Fields [« Corps locaux »], New York/Heildeberg/Berlin, Springer-Verlag, coll. « GTM » (no 67), , 241 p. [détail des éditions] (ISBN 0-387-90424-7, zbMATH 0423.12016), p. 117-118
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