Univers d'Einstein

L'univers d'Einstein étant homogène et isotrope, il peut être décrit dans le cadre du formalisme de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker et des équations de Friedmann[N 2]. Celles-ci s'écrivent :

${\displaystyle 3\left({\frac {H^{2}}{c^{2}}}+{\frac {K}{a^{2}}}\right)=\kappa \rho }$,

${\displaystyle 3{\frac {H^{2}}{c^{2}}}+2{\frac {\dot {H}}{c^{2}}}+{\frac {K}{a^{2}}}=-\kappa P}$,

où P et ρ sont respectivement la pression (ayant la dimension d'une force / surface = énergie / volume) et la densité d'énergie (dimension d'une énergie / volume) totales, H le taux d'expansion, K / a² la courbure spatiale, c la vitesse de la lumière et κ la constante d'Einstein (ayant la dimension d'une longueur / énergie) = 8πG/c⁴ = 2.076 10^-43 m J^-1. L'univers d'Einstein étant statique, son taux d'expansion H est nul et sa dérivée temporelle ${\displaystyle {\dot {H}}}$ l'est également. On a ainsi :

${\displaystyle 3{\frac {K}{a^{2}}}=\kappa \rho }$,

${\displaystyle {\frac {K}{a^{2}}}=-\kappa P}$.

Le cas où la densité d'énergie et la pression sont nulles correspond à l'espace de Minkowski habituel. On voit que ces deux égalités ne peuvent par contre pas simultanément être satisfaites pour de la matière non relativiste, dont la pression est négligeable devant la densité d'énergie. De plus, si la densité d'énergie est non nulle, alors la pression totale doit être de signe opposé à la densité d'énergie (et égale au tiers de cette dernière en valeur absolue). Si l'on suppose que de la matière ordinaire est présente dans l'Univers, le seul moyen de rendre compatible ces équations est de supposer l'existence d'une autre forme de matière aux propriétés exotiques. Plusieurs choix existent ; celui d'Einstein correspondant à une constante cosmologique, qui peut s'interpréter comme un fluide dont la pression ${\displaystyle P_{\Lambda }}$ est opposée à la densité ${\displaystyle \rho _{\Lambda }}$. En notant ${\displaystyle \rho _{\mathrm {m} }}$ la densité d'énergie sous forme de matière non relativiste, il vient alors :

${\displaystyle 3{\frac {K}{a^{2}}}=\kappa (\rho _{\mathrm {m} }+\rho _{\Lambda })}$,

${\displaystyle {\frac {K}{a^{2}}}=-\kappa P_{\Lambda }=\kappa \rho _{\Lambda }}$.

On obtient ainsi immédiatement

${\displaystyle \rho _{\mathrm {m} }\,=\,2\rho _{\Lambda }}$,

et la courbure spatiale est alors donnée par :

${\displaystyle {\frac {K}{a^{2}}}=\kappa \rho _{\Lambda }}$.

La raison de ce choix particulier d'une constante cosmologique de la part d'Einstein résulte du fait que la constante cosmologique peut, selon les cas, être considérée comme un fluide possédant une certaine densité d'énergie et une pression, soit comme une caractéristique purement géométrique de l'espace. Dans ce second cas, la constante cosmologique ${\displaystyle \Lambda }$ représente une quantité homogène à l'inverse du carré d'une longueur, donnée par

${\displaystyle \Lambda \,=\,\kappa \rho _{\Lambda }}$. Dans ce cas, la courbure spatiale K / a² et l'inverse du rayon de courbure, 1 / ${\displaystyle R_{c}={\sqrt {K}}/a}$ se déduisent de la constante cosmologique par les formules :

K / a² = Λ et 1 / R_c= Λ^½ .

 : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

• [Barrow 2012] John Barrow (trad. de l'anglais par Guy Chouraqui, préf. d'Aurélien Barrau), Le livre des univers [« The book of universes »], Paris, Dunod, coll. « Quai des sciences », novembre 2012, 1^re éd., VI-359 p., 15,5 × 24 cm (ISBN 978-2-10-057638-8, EAN 9782100576388, OCLC 826755633, BNF 42765276, SUDOC 165092939, présentation en ligne, lire en ligne). 
• [Kerszberg 1984] Pierre Kerszberg, « Naissance de la cosmologie relativiste », Séminaire de philosophie et mathématiques, n^o 8,‎ 1984, p. 1-30 (lire en ligne [PDF]). .
• [Paty 2000] Michel Paty, « Cosmologie et matière quantique : convergences conceptuelles », dans Jean Seidengart et Jean-Jacques Szczeciniarz (dir. et introd.), Cosmologie et philosophie : hommage à Jacques Merleau-Ponty, São Paulo, Discurso Editorial, coll. « Épistémologiques » (n^o I, 1-2), décembre 2000, 1^re éd., 347 p., 24 cm (OCLC 496272997, SUDOC 070691894, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 11, p. 219-249. .
• [Taillet, Villain et Febvre 2013] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll., physique, février 2013 (réimpr. février 2015), 3^e éd. (1^re éd. mai 2008), X-899 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8041-7554-2, EAN 9782804175542, OCLC 842156166, BNF 43541671, SUDOC 167932349, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.univers d'Einstein, p. 709, col. 1. 

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