Variable de contrôle

On cherche à estimer le paramètre µ, et on dispose d'une estimation m non-biaisée de µ ; autrement dit, ${\displaystyle \mathbb {E} \left[m\right]=\mu }$. On dispose d'une autre statistique t, telle que ${\displaystyle \mathbb {E} \left[t\right]=\tau }$, et sa corrélation avec m, ρ_mt, est connue. En supposant connues toutes ces constantes, on peut construire un nouvel estimateur, pour une constante c donnée :

${\displaystyle m^{\star }:=m-c\left(t-\tau \right).}$

On montre que cet estimateur est un estimateur non-biaisé de µ, quel que soit le choix de la constante c. En outre, on peut montrer que le choix

${\displaystyle c:={\frac {\sigma _{m}}{\sigma _{t}}}\rho _{mt}}$

permet de minimiser la variance ${\displaystyle \sigma _{m^{\star }}^{2}}$ de ${\displaystyle m^{\star }}$. Pour ce choix de c, la variance de l'estimateur vaut alors

${\displaystyle \sigma _{m^{\star }}^{2}=\left(1-\rho _{mt}^{2}\right)\sigma _{m}^{2}}$;

Par construction, la variance de ${\displaystyle m^{\star }}$ sera inférieure à celle de l'estimateur initial m, d'où le terme de réduction de variance. Plus la corrélation est importante, plus la réduction de la variance sera importante.

Lorsque les écart-type σ_m, σ_t, ou la corrélation ρ_mt sont inconnus, on peut les remplacer par leurs estimations empiriques.

On souhaite évaluer

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{1+t}}\,\mathrm {d} t}$

dont la vraie valeur est ${\displaystyle \ln(2)=0,69315}$. Puisque cette intégrale peut être vue comme l'espérance de f (U), avec U la loi uniforme continue standard sur [0;1] et ${\displaystyle f(x)=(1+x)^{-1}}$, une estimation de Monte-Carlo est envisageable.

L'estimation classique se base sur un échantillon de n tirages de la loi uniforme u₁, ..., u_n et vaut

${\displaystyle I_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i}f(u_{i})}$

On introduit comme variable de contrôle T = 1+U. Cette variable est uniforme continue sur [1;2], son espérance vaut 3/2 et sa variance 1/12. Par construction, sa covariance avec f (U) est

${\displaystyle 1-{3 \over 2}\times \mathbb {E} (m)=-{\frac {3\ln 2-2}{2}}}$.

À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on peut continuer à évaluer exactement toutes les autres quantités entrant en jeu dans la méthode ; mais le plus pratique reste de remplacer tous les moments par leur contrepartie empirique. Avec un échantillon de n = 1500 réplications, on trouve σ_m = 0,14195, ρ = –0,98430 et σ_t = 0,29002. La constante optimale vaut -0,48175. On trouve les résultats suivants :

Grâce à la corrélation massivement négative avec la variable de contrôle, on parvient à réduire très significativement la variance de l'estimateur de Monte-Carlo.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Control variates » (voir la liste des auteurs).