Variation totale d'une fonction

On commence par prouver une égalité qui vient du théorème de Green-Ostrogradsky.

Sous les conditions du théorème, on a :

${\displaystyle \int _{\Omega }f\,\mathrm {div} \phi =-\int _{\Omega }\nabla f\cdot \phi }$

En effet, par le théorème de Green-Ostrogradsky

${\displaystyle \int _{\Omega }{\text{div}}\mathbf {F} =\int _{\partial \Omega }\mathbf {R} \cdot \mathbf {n} }$

en prenant ${\displaystyle \mathbf {F}$ :=f\mathbf {\phi } } , il vient :

${\displaystyle \int _{\Omega }{\text{div}}\left(f\mathbf {\phi } \right)=\int _{\partial \Omega }\left(f\mathbf {\phi } \right)\cdot \mathbf {n} }$

où ${\displaystyle \mathbf {\phi } }$ est nulle sur le bord de Ω par définition :

${\displaystyle 0=\int _{\Omega }{\text{div}}\left(f\mathbf {\phi } \right)=\int _{\Omega }\partial _{x_{i}}\left(f\mathbf {\phi } _{i}\right)=\int _{\Omega }(\mathbf {\phi } _{i}\partial _{x_{i}}f+f\partial _{x_{i}}\mathbf {\phi } _{i})\,\Leftrightarrow \,\int _{\Omega }f\partial _{x_{i}}\mathbf {\phi } _{i}=-\int _{\Omega }\mathbf {\phi } _{i}\partial _{x_{i}}f\,\Leftrightarrow \,\int _{\Omega }f{\text{div}}\mathbf {\phi } =-\int _{\Omega }\mathbf {\phi } \cdot \nabla f}$

Ainsi, l'égalité suivante est vérifiée :

${\displaystyle \int _{\Omega }f{\text{div}}\mathbf {\phi } =-\int _{\Omega }\mathbf {\phi } \cdot \nabla f\leq \left|\int _{\Omega }\mathbf {\phi } \cdot \nabla f\right|\leq \int _{\Omega }\left|\mathbf {\phi } \right|\cdot \left|\nabla f\right|\leq \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|}$

Dans le dernier terme, ${\displaystyle \mathbf {\phi } }$ peut être écarté, car par définition, sa borne supérieure essentielle vaut au plus 1.

Maintenant, considérons ${\displaystyle \theta (x):={\frac {\nabla f(x)}{\left|\nabla f(x)\right|}}}$ lorsque ${\displaystyle |\nabla f(x)|\neq 0}$ et ${\displaystyle \theta (x)=0}$ sinon. Pour ${\displaystyle \varepsilon >0}$, soit ensuite ${\displaystyle \theta _{\varepsilon }^{*}}$ une approximation de ${\displaystyle \theta }$ à ${\displaystyle \varepsilon }$ près dans ${\displaystyle C_{c}^{1}(\Omega$ ;\mathbb {R} ^{n})} et de même intégrale. Cette approximation est possible car ${\displaystyle C_{c}^{1}}$ est dense dans L¹. Maintenant, en remplaçant dans l'égalité du lemme précédent :

${\displaystyle \lim \limits _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{\Omega }f{\text{div}}\theta _{\varepsilon }^{*}=\lim \limits _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{\Omega }\mathbb {\theta } _{\varepsilon }^{*}\cdot \nabla f=\int _{\Omega }\theta \cdot \nabla f=\int _{\Omega }\left|\nabla f\right|}$

On a ainsi une suite convergente de ${\displaystyle \int _{\Omega }f{\text{div}}\mathbf {\phi } }$ qui tend vers ${\displaystyle \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|}$ alors qu'on avait ${\displaystyle \int _{\Omega }f{\text{div}}\mathbf {\phi } \leq \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|}$, ce qui permet de conclure.