Vitesse cosmique

La première vitesse cosmique représente la vitesse de satellisation minimale autour de la Terre. Vitesse minimale qu’il faut théoriquement communiquer à un corps, au départ de la Terre, pour le satelliser autour d’elle en orbite basse. Elle est déterminée par la relation

${\displaystyle {\frac {v_{1}^{2}}{R}}={\frac {G\,M_{\oplus }}{R^{2}}}}$,

où :

• ${\displaystyle R}$ est le rayon de l'orbite, assimilé au rayon terrestre (6 370 km, bien qu'en réalité une orbite n'échappe au frottement de l'atmosphère terrestre que si elle est à une altitude supérieure à 200 km),
• ${\displaystyle M_{\oplus }}$ est la masse de la Terre (environ 6 × 10²⁴ kg) ;
• ${\displaystyle G}$ est la constante de gravitation (6,674 × 10⁻¹¹ m³/kg/s²)

Cette relation signifie que la force de gravitation exercée par la Terre (${\displaystyle G\,M_{\oplus }\,m/R^{2}}$, m étant la masse du corps à satelliser) est exactement compensée par la force centrifuge (${\displaystyle mv_{1}^{2}/R}$) qui s'exerce sur le corps quand celui-ci est en orbite circulaire.

La première vitesse cosmique vaut ainsi

${\displaystyle v_{1}={\sqrt {\frac {G\,M_{\oplus }}{D}}}}$ Avec D = R(Terre) + H(altitude par rapport au sol)

soit environ

${\displaystyle v_{1}\simeq 7{,}9\;{\rm {km\;s^{-1}\simeq 28\,500\;{\rm {km\;h^{-1}}}}}}$. C'est, comme indiqué, une vitesse qui tient insuffisamment compte de l'altitude réelle de satellisation.

La deuxième vitesse cosmique correspond à la vitesse de libération d’un corps quittant la Terre. C’est la vitesse minimale au-delà de laquelle un corps peut s’éloigner définitivement de la Terre, en tout cas tant que l'on néglige la présence du Soleil et de notre galaxie. Elle est déterminée, avec les mêmes notations que précédemment, par la relation

${\displaystyle {\frac {v_{2}^{2}}{2}}={\frac {G\,M_{\oplus }}{R}}}$,

obtenue par intégration de l'énergie cinétique devant être acquise par le satellite pour que, quittant la Terre, il atteigne une orbite haute (pouvant être à l'infini). Cette équation où la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle de gravitation se compensent, confère une énergie totale nulle à la fusée, condition nécessaire à ce qu'elle puisse s'échapper de l'attraction terrestre.

La deuxième vitesse cosmique vaut ainsi :

${\displaystyle v_{2}={\sqrt {\frac {2\,G\,M_{\oplus }}{R}}}={\sqrt {2}}\,v_{1}}$

soit environ

${\displaystyle v_{2}\simeq 11{,}2\;{\rm {km\;s^{-1}\simeq 40\,300\;{\rm {km\;h^{-1}}}}}}$.

À noter qu'ici, il n'y a pas d'ambiguïté sur la quantité R, qui correspond au rayon terrestre, puisque c'est de là qu'est lancé le corps. Cela diffère donc de la première vitesse cosmique où la quantité D pouvait représenter le rayon d'une orbite basse, légèrement supérieur (d'environ 3 %) au rayon terrestre. Cependant, cette deuxième vitesse étant obtenue par intégration (intégrale définie) depuis l'orbite du départ, il est possible de l'obtenir en deux fois et la somme de ces deux valeurs sera toujours la même : voir plus bas pour le calcul. Cela explique le fait, qu'en pratique, on commence souvent par une satellisation en orbite basse.

La vitesse de libération augmente avec la compacité de l'astre support, c'est-à-dire son rapport M/R. Par exemple, celle de Jupiter est de 59,5 km/s.

La troisième vitesse cosmique est définie comme étant la vitesse de libération d’un corps quittant le système solaire depuis l'orbite terrestre.

Dans un référentiel héliocentrique, cette vitesse est donnée par la même relation que celle donnant la seconde vitesse cosmique, en remplaçant la masse de la Terre par celle du Soleil, et le rayon de la Terre par la distance moyenne Terre-Soleil :

${\displaystyle v_{3}^{\prime }={\sqrt {\frac {2\,G\,M_{\odot }}{a}}}}$

avec

• ${\displaystyle a}$ la distance moyenne Terre-Soleil, soit une unité astronomique, environ 149,6 millions de kilomètres ;
• ${\displaystyle {M_{\odot }}}$ la masse du Soleil soit 1,989 1 × 10³⁰ kg.

Soit une vitesse ${\displaystyle v_{3}^{\prime }\simeq 42{,}1\;{\rm {km\;s^{-1}}}}$.

Il convient toutefois de bien préciser que cette valeur ne correspond pas à la définition de la troisième vitesse cosmique donnée au début de cette section, car elle est établie :

• dans un référentiel héliocentrique,
• pour un corps se trouvant initialement à la distance ${\displaystyle a}$ du Soleil,
• en l'absence de la Terre, la gravité due à celle-ci étant ignorée dans le calcul.

La prise en compte de la gravité terrestre conduit à devoir rechercher la vitesse de libération dans le cadre du problème à trois corps restreint[1]. Bien qu'il n'existe pas de solution sous forme analytique à ce problème, il est possible d'établir une expression approchée à l'aide de la méthode des coniques juxtaposées[2].

La vitesse ${\displaystyle v_{3}^{\prime }}$ donnée ci-dessus étant exprimée dans un référentiel héliocentrique, elle devient dans un référentiel géocentrique ${\displaystyle v_{\infty }=v_{3}^{\prime }-v_{\oplus }}$ avec ${\displaystyle v_{\oplus }={\sqrt {\frac {G\,M_{\odot }}{a}}}\simeq 29{,}7\;{\rm {km\;s^{-1}}}}$ la vitesse moyenne de la Terre par rapport au Soleil.

Dans la méthode des coniques juxtaposées, ${\displaystyle v_{\infty }}$ est une approximation de l'excès de vitesse du corps lorsqu'il quitte la sphère d'influence de la Terre par rapport au Soleil.

En injectant la formule donnant ${\displaystyle v_{3}^{\prime }}$ dans celle de ${\displaystyle v_{\infty }}$, cette vitesse géocentrique devient :

${\displaystyle v_{\infty }=({\sqrt {2}}-1)\,v_{\oplus }}$.

En faisant ensuite l'hypothèse que l'énergie potentielle spécifique est nulle sur la sphère d'influence, la conservation de l'énergie totale spécifique dans le référentiel géocentrique s'écrit :

${\displaystyle {\frac {v_{3}^{2}}{2}}-{\frac {G\,M_{\oplus }}{R}}={\frac {v_{\infty }^{2}}{2}}}$

dans laquelle ${\displaystyle v_{3}}$ est la vitesse géocentrique qu'il est nécessaire de communiquer au corps depuis la surface de la Terre pour atteindre la vitesse ${\displaystyle v_{\infty }}$ sur la sphère d'influence de la Terre. Par suite :

${\displaystyle v_{3}={\sqrt {{\frac {2\,G\,M_{\oplus }}{R}}+({\sqrt {2}}-1)^{2}\,{\frac {GM_{\odot }}{a}}}}}$

soit encore, en ré-introduisant la seconde vitesse cosmique ${\displaystyle v_{2}}$ et la vitesse orbitale de la Terre ${\displaystyle v_{\oplus }}$ :

${\displaystyle v_{3}={\sqrt {v_{2}^{2}+({\sqrt {2}}-1)^{2}\,v_{\oplus }^{2}}}}$

La valeur obtenue ${\displaystyle v_{3}\simeq 16{,}6\;{\rm {km\;s^{-1}}}}$ est une approximation numérique de la troisième vitesse cosmique, suivant la définition donnée au début de cette section.

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