Cómo calcular derivadas

Entiende qué es la notación de la derivada.

• La notación de Leibniz Es la más común donde la ecuación involucra ‘y’ y ‘x’. dy/dx significa “la derivada de y con respecto a ‘x’”. Puede ser útil pensar en ella como Δy/Δx para los valores de ‘x’ y ‘y’ que son infinitesimalmente diferentes el uno al otro. Esta explicación se presta para la definición del límite de una derivada: lim_h->0 (f(x+h)-f(x))/h. Si usas esta notación para una segunda derivada, debes escribir: d²y/dx².
• Notación de Lagrange La derivada de una función también se escribe como f'(x). Esta notación se pronuncia “f prima de x”. Esta notación es más corta que la de Leibniz, y es útil cuando vemos a la derivada como una función. Para formar derivadas de alto orden, simplemente añade otro " ' " a "f," para que la segunda derivada sea f''(x).

Entiende qué es una derivada, y para qué se usa. Primero que nada, para encontrar la pendiente de una gráfica lineal, se toman dos puntos de la línea, y sus coordenadas se ponen en la ecuación (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁). Sin embargo, esto sólo puede usarse con gráficas lineales. Para ecuaciones cuadráticas y de más alto rango, la línea será curva, así que tomar la “diferencia” de dos puntos no será preciso. Para poder encontrar la pendiente de una tangente de una gráfica curva: [f(x + dx) - f(x)]/dx. Dx significa "delta x," la cual es la diferencia entre dos coordinadas de x de los dos puntos de la gráfica. Date cuenta que ésta ecuación es la misma que (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁), solo en diferente forma. Ya que sabemos que el resultado será equivocado, debemos tomar un enfoque indirecto. Para poder encontrar la pendiente de la tangente en (x, f(x)), dx debe acercarse a 0, para que los dos puntos que se tomen se unan en un solo punto. Sin embargo, no puedes dividir entre 0, así que después de poner los valores de los dos puntos, debes factorizar y hacer otros métodos para cancelar dx en el fondo de la ecuación. Una vez que hayas hecho eso, establece dx a 0 y resuelve. Ésta es la pendiente de la tangente en (x, f(x)). La derivada de una ecuación es la ecuación genérica para encontrar la pendiente de cualquier tangente de una gráfica. Esto puede parecer extremadamente complicado, pero a continuación hay unos ejemplos que pueden aclarar cómo obtener la derivada.

Usa la diferenciación explícita cuando tienes 'y' de un lado.

Coloca la ecuación en la ecuación [f(x + dx) - f(x)]/dx. Por ejemplo, si la ecuación era y = x², la derivada será [(x + dx)² - x²]/dx.

Expande y factoriza dx para formar la ecuación [dx(2x + dx)]/dx. Ahora puedes cancelar las dos dx's en la parte de arriba y la de abajo. El resultado es 2x + dx, y cuando dx se acerca a 0, la derivada es 2x. Esto significa que la pendiente de cualquier tangente de la gráfica y = x² es 2x. Sólo coloca el valor de x del punto donde quieres encontrar la pendiente.

Aprende los patrones para obtener la derivada a similares ecuaciones. Abajo hay unos ejemplos:

• La derivada de cualquier potencia es la potencia por el valor de la potencia menos 1. Por ejemplo, la derivada de x⁵ es 5x⁴, y la derivada de x^3.5 es 3.5x^2.5. Si ya hay un número enfrente de x, entonces multiplícalo por la potencia. Por ejemplo, la derivada de 3x⁴ es 12x³.
• La derivada de cualquier constante es cero. Así que la derivada de 8 es 0.
• La derivada de una suma es la suma de sus derivadas individuales. Por ejemplo, la derivada de x³ + 3x² es 3x² + 6x.
• La derivada de un producto es el primer factor por la derivada del segundo factor más el segundo factor por la derivada del primer factor. Por ejemplo, la derivada de x³(2x + 1) es x³(2) + (2x + 1)3x², lo cual es igual a 8x³ + 3x².
• La derivada de un cociente (digamos, f/g) es [g(derivada de f) - f(derivada de g)]/g². Por ejemplo, la derivada de (x² + 2x - 21)/(x - 3) es (x² - 6x + 15)/(x - 3)².

Usa una diferenciación implícita cuando la ecuación no puede escribirse fácilmente con ‘y’ de un lado sola. Incluso si pudiste escribir ‘y’ en un lado, computar dy/dx sería tedioso. Debajo hay unos ejemplos de cómo resolver estos tipos de ecuaciones.

En este ejemplo, x²y + 2y³ = 3x + 2y, remplaza y con f(x), así que recordaras que ‘y’ es la función. La ecuación se vuelve x²f(x) + 2[f(x)]³ = 3x + 2f(x).

Para encontrar la derivada de esta ecuación, debes encontrar la derivada de ambos lados de la ecuación con respecto a x. La ecuación entonces se vuelve x²f'(x) + 2xf(x) + 6[f(x)]²f'(x) = 3 + 2f'(x).

Remplaza f(x) con ‘y’ de nuevo. Ten cuidado de no hacer lo mismo con f'(x), el cual es diferente a f(x).

Resuelve para f'(x). La respuesta de este ejemplo quedaría así: (3 - 2xy)/(x² + 6y² - 2).

Calcular la derivada de orden mayor de una función significa calcular la derivada de la derivada (por orden de 2). Por ejemplo, si te pide que calcules la derivada de tercer orden, solo tienes que calcular la derivada de la derivada de la derivada. Para algunas ecuaciones, la derivada de orden mayor llega a 0.