Comment plier un hexaflexagone

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Les hexaflexagones ressemblent en surface à des hexagones normaux, mais en fait, ils en cachent d'autres. Le pliage d'un hexaflexagone est drôle à faire et de surcroit, vous apprendrez à mieux cerner la notion de dimension dans l'espace. Il existe de nombreux hexaflexagones, nous verrons ici le trihexaflexagone (trois faces différentes) et l'hexahexaflexagone (six faces différentes) qui sont parmi les plus simples à faire.

Méthode 1

Méthode 1 sur 2:
Le pliage d'un trihexaflexagone ^{[1]
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1
Faites-vous une bande de papier avec 10 triangles équilatéraux adjacents. Le premier triangle sera à l'envers, pointe vers le bas. Le dernier, quant à lui, aura sa pointe dirigée vers le haut.
- Les triangles intermédiaires alternent pointe en bas, pointe en haut.
- Les deux triangles des extrémités n'ont qu'un seul triangle adjacent. Ceux de l'intérieur ont un triangle de chaque côté. Les bases de ces triangles sont libres.
- Vous devez prendre bien soin de tracer des triangles parfaitement équilatéraux, sans quoi votre pliage ne pourra se faire.
- Ne découpez surtout pas les triangles !
2
Numérotez les triangles des deux côtés. Numérotez chaque triangle de la première face en commençant par la gauche (de 1 à 10). Retournez la bande et faites de même en numérotant de 11 à 20.
- Faites un marquage au crayon papier, sans appuyer, afin de pouvoir à la fin effacer les numéros.
- Le numéro de la face arrière d'un triangle est augmenté de 10 par rapport au numéro de la face avant. Ainsi le premier triangle porte les numéros 1 et 11.
3
Marquez nettement le pli sur le côté commun à deux triangles successifs. Marquez ce pli dans un sens, puis dans l'autre. Faites cela pour tous les côtés adjacents. Le pliage qui suit en sera facilité.
4
Repliez les trois premiers triangles vers le bas et en arrière. Les triangles 1, 2 et 3 doivent être repliés en arrière et vers le bas le long du pli formé par les triangles 3 et 4.
- Ce pliage fait, vous devez apercevoir les triangles 11 et 12, ce dernier étant juste sous le triangle 4.
5
Repliez les quatre derniers triangles (de droite) vers le bas et par-dessus. Les triangles 7, 8, 9 et 10 doivent être repliés sur l'avant et vers le bas, le long du pli situé entre les triangles 6 et 7.
- Le triangle 6 a été recouvert.
- Horizontalement, il ne vous reste plus que les triangles 4 et 5. Tous les autres triangles étaient au départ derrière et portent donc tous un numéro supérieur à 10.
- Vous avez désormais en main un quasi hexagone, n'était le petit triangle (n° 20) du bas.
6
Ramenez le triangle 11 (qui est caché) sur le devant, sur le triangle 19. À ce stade, le triangle 11 est caché par le triangle 19. Faites passer le 11 sur le 19.
- Le reste du pliage ne bouge pas.
7
Ramenez le triangle 20 sur le triangle 11. Le triangle 20 doit être replié vers le haut, son côté supérieur étant l'axe du pliage. Désormais, il recouvre le triangle 11.
- Les triangles 11 et 20 sont alors invisibles, le triangle 10 est devant vous.
- Notez au passage que vous avez maintenant un vrai hexagone.
8
Mettez un petit bout de ruban adhésif au niveau du pli entre les triangles 10 et 11. Glissez la moitié de l'adhésif sous le triangle 10, face collante vers le haut et rabattez l'autre moitié sur la face avant de ce même triangle 10.
- Ainsi, votre hexaflexagone ne se dépliera plus.
9
Pliez l'hexaflexagone. Maintenant, votre pliage est prêt, il ne reste plus qu'à le « plier » sur lui-même pour en faire une figure à trois dimensions.
- Tenez votre hexaflexagone à deux mains.
- Pincez deux des triangles pour les rapprocher. Vous devez choisir deux triangles contigus, mais qui ne partagent pas un pli commun.
- Pincez deux des triangles avec la main gauche (ou la droite si vous êtes gaucher)
- Avec l'autre main, poussez sans forcer l'autre côté, plutôt dans la partie basse et en direction du centre du pliage, pour faire apparaitre 3 arêtes.
- Votre hexaflexagone est ouvert en son centre et avec votre main dominante, vous pouvez écarter pour élargir l'ouverture, ce qui vous permet de voir votre pliage avec les autres triangles.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 2:
Le pliage d'un hexahexaflexagone

1
Faites-vous une bande de papier avec 19 triangles équilatéraux adjacents. Les deux triangles des extrémités auront leurs pointes tournées vers le haut, leurs bases étant en bas.
- Les triangles intermédiaires alternent pointe en bas, pointe en haut.
- Les deux triangles des extrémités n'ont qu'un seul triangle adjacent. Ceux de l'intérieur ont un triangle de chaque côté. Les bases de ces triangles sont libres.
- Vous devez prendre bien soin de tracer des triangles parfaitement équilatéraux. Ne découpez surtout pas les triangles !
2
Numérotez les triangles des deux côtés. Sur la première, numérotez tous les triangles par trois : 1, 2 et 3. Arrivé à 3, continuez à numéroter par trois, en repartant de 1, six fois de suite donc. Le dernier triangle n'a pas de numéro. Retournez la bande et numérotez quasiment de la même façon, sauf que vous allez numéroter par doublettes : 4, 4, 5, 5, 6, 6, en commençant par le deuxième triangle à gauche. Arrivé à 6, vous recommencez la séquence : 4, 4, 5, 5, 6, 6.
- Le dernier triangle de la face avant et le premier triangle de la face arrière n'ont pas de numéros.
- Faites un marquage au crayon papier, sans appuyer, afin de pouvoir à la fin effacer les numéros.
3
Marquez nettement le pli sur le côté commun à deux triangles successifs. Marquez ce pli dans un sens, puis dans l'autre. Faites cela pour tous les côtés adjacents. Le pliage qui suit en sera facilité.
4
Pliez la bande de façon à ce que les triangles 4, 5 et 6 se replient mutuellement les uns sur les autres. Ramenez l'un des triangles 4 sur le triangle également marqué 4. Faites de même avec les deux triangles 5. Idem avec les triangles 6. Maintenez ces pliages en place.
- S'il n'y avait pas ces plis rectilignes, on aurait pu parler d'un pliage « en spirale ». Cela fait, on se retrouve avec une bande semblable à celle qui nous a servi à construire le trihexaflexagone. Partant, vous vous doutez que les instructions qui vont suivre ressemblent à celles que nous avons déjà vues.
5
Repliez les trois premiers triangles vers le bas et en arrière. Le pliage s'effectue au niveau du pli entre les troisième et quatrième triangles.
- Vers le bas, on voit apparaitre le dos des deux « premiers » triangles, jusqu'alors invisibles.
6
Repliez les quatre derniers triangles (de droite) vers le bas et par-dessus. Le pliage s'effectue au niveau du pli entre les quatrième et cinquième triangles en partant de la droite.
- Ce dernier triangle (le 5e en partant de la droite) est désormais masqué.
- Vous avez désormais en main un quasi hexagone, mis à part le petit triangle (sans numéro) du bas. Si ce triangle n'est pas en bas, tournez votre pliage pour qu'il soit à cet endroit.
7
Comme précédemment, mettez le triangle du dessous (à main gauche) au-dessus. Le triangle du bas, marqué 1, doit disparaitre sous un triangle sans numéro.
8
Ramenez le triangle du bas vers le haut. Ce triangle doit être ramené vers le haut si vous voulez obtenir une forme d'hexagone. Pliez-le avec comme axe son côté du haut. Vous ne devez avoir que des triangles marqués 3
- Vous avez maintenant un hexagone régulier !
9
Encollez les deux faces internes à ce niveau. Votre hexaflexagone est prêt !
10
Pliez votre hexaflexagone. Maintenant, votre pliage est terminé, il ne reste plus qu'à le « plier » sur lui-même pour en faire une figure à trois dimensions.
- Tenez votre hexaflexagone à deux mains.
- Pincez deux des triangles pour les rapprocher. Vous devez choisir deux triangles contigus, mais qui ne partagent pas un pli commun.
- Pincez deux des triangles avec la main gauche (ou la droite si vous êtes gaucher)
- Avec l'autre main, poussez sans forcer l'autre côté, plutôt dans la partie basse et en direction du centre du pliage, pour faire apparaitre 3 arêtes.
- Votre hexaflexagone est ouvert en son centre et avec votre main dominante, vous pouvez écarter pour élargir l'ouverture, ce qui vous permet de voir votre pliage avec les autres triangles : au départ, on voit les triangles 3, puis les triangles 2, puis les triangles 4 !
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