إزاحة افتراضية

إن الإزاحة الافتراضية ${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}\,}$ «هي تغير مفترض متناهي الصغر في إحداثيات النظام يحدث أثناء ثبوت الزمن. وسميت افتراضية وليست حقيقة لأنه يستحيل أن تحدث إزاحة فعلية دون مرور زمن.»[1]^:263

بالنسبة لمسار الجسيم${\displaystyle x(t)}$ والسحب الافتراضي ${\displaystyle x'(t)}$، عند المركز ${\displaystyle x_{1}}$, الوقت${\displaystyle t_{1}}$، تكون الإزاحة الافتراضية ${\displaystyle \delta x}$ 。 ويكون مركزا البداية والنهاية لكلا المسارين عند ${\displaystyle x_{0}}$ و${\displaystyle x_{2}}$ على التوالي.

في علم المصطلحات الحديث، تكون الإزاحة الافتراضية هي متجه المماس لمتعدد الشعب الذي يمثل القيود عند زمن محدد. وبخلاف الإزاحة العادية التي تنشأ عن التفاضل فيما يتعلق بمعامل الزمن ${\displaystyle t\,}$ عبر مسار الحركة (وبهذا يتم التوجيه في اتجاه الحركة), تنشأ الإزاحة الافتراضية عن التفاضل المتعلق بالمعامل ${\displaystyle \epsilon \,}$ لترقيم مسارات الحركة المتغيرة بطريقة تتسق مع القيود (وبهذا يتم التوجيه نحو زمن ثابت في اتجاه المماس إلى متعدد الشعب المقيد). ويستخدم الرمز ${\displaystyle \delta \,}$ بصورة تقليدية للدلالة على الاشتقاق المقابل ${\displaystyle \textstyle {\partial \over {\partial \epsilon }}{\big |}_{\epsilon =0}\,}$.

إن التفاضل الكامل لأي مجموعة من ممسات مركز النظام, ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}\,}$، التي هي دوال لمتغيرات أخرى, ${\displaystyle \lbrace q_{1},q_{2},...,q_{m}\rbrace \,}$, ويمكن التعبير عن الزمن ${\displaystyle t\,}$ بالطريقة التالية:[1]^:264

${\displaystyle d\mathbf {r} _{i}={\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial t}}dt+\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}dq_{j}\,}$

وبدلاً من ذلك، إذا كنا نريد الإزاحة الافتراضية (الإزاحة التفاضلية الافتراضية), فإن[1]^:265

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}\,}$

تستخدم تلك المعادلة في ميكانيك لاغرانج لتربط الإحداثيات المعممة, ${\displaystyle q_{j}\,}$, بـ الشغل الافتراضي, ${\displaystyle \delta W\,}$, والقوى المعممة, ${\displaystyle Q_{j}\,}$.

في الميكانيكا التحليلي] يكون مفهوم الإزاحة الافتراضية، المرتبط بمفهوم الشغل الافتراضي , مفيدًا فقط عند مناقشة عنصر نظام فيزيائي بالنسبة للقيود على حركته.^{[بحاجة لمصدر]} وهناك حالة خاصة للإزاحة الموحلة في الصغر (يرمز إليها دائمًا بـ ${\displaystyle d\mathbf {r} \,}$), تشير الإزاحة الافتراضية (رمزها ${\displaystyle \delta \mathbf {r} \,}$) إلى تغير موحل في الصغر في إحداثيات مركز النظام بحيث تظل القيود مستوفاة.^{[بحاجة لمصدر]}

فعلى سبيل المثال، إذا كانت حبة مقيدة بالحركة في طوق، فيمكن تمثيل موضعها بإحداثي الموضع ${\displaystyle \theta \,}$, الذي يعطي الزاوية التي توجد عندها الحبة. ولنقل إن الحبة توجد بأعلى. فعند تحريك الحبة إلى أعلى مباشرةً من ارتفاعها ${\displaystyle z\,}$ إلى ارتفاع ${\displaystyle z+dz\,}$ قد يمثل إزاحة موحلة في الصغر ممكنة، ولكنه قد يخترق القيد. إن الإزاحة الافتراضية الوحيدة الممكنة هي الإزاحة من مركز الحبة, ${\displaystyle \theta \,}$ إلى مركز جديد ${\displaystyle \theta +\delta \theta \,}$^{[بحاجة لمصدر]} (حيث قد تكون ${\displaystyle \delta \theta \,}$ موجبة أو سالبة).

يجب أيضًا أن نلاحظ أن الإزاحة الافتراضية هي إزاحات مكانية على وجه التحديد - الزمن يكون ثابتًا أثناء حدوث الإزاحة الافتراضية. فعند حساب التفاضلات الافتراضية لكميات هي دوال لإحداثيات المكان والزمن, فلن يتم اعتبار الاعتماد على الزمن (مساويًا رسميًا لـ ${\displaystyle \delta t=0\,}$).