شغل افتراضي

عالم الرياضيات لاجرانج

تم استخدام مبدأ الشغل الافتراضي في دراسة علم الاستاتيكا منذ القدم بواسطة الاغريق، العرب، الايطاليين في عصر النهضة. وتم استخدام المبدأ بواسطة علماء فيزياء مشهورين بالقرن السابع عشر أمثال جاليليو.[3] في عام 1768 قام لاجرانج بتقديم المبدأ في صورة أكثر كفاءة عن طريق استخدام المتجهات العامة.

نفرض جزئ P يتحرك من نقطة A لنقطة B علي مسار (r(t في حين أن القوة ((F(r(t تؤثر علية، فان الشغل المبذول W بواسطة هذة القوة يعطي بالتكامل:${\displaystyle W=\int _{\mathbf {r} (t_{0})=A}^{\mathbf {r} (t_{1})=B}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}~dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} ~dt}$

حيث dr هو العنصر التفاضلي علي طول منحني حركة الجزئ P و v هو سرعتة. من المهم ملاحظة ان الشغل المبذول W يعتمد علي مسار حركة الجزئ P

الآن نفرض الجزئ P يتحرك من نقطة A لنقطة B مرة أخرى، لكنه هذه المرة يتحرك علي مسار مقارب للمسار الأول (r(t باختلاف بسيط (δr(t)=εh(t حيث ε هو مقدار ثابت يمكن فرضة بقيمة صغيرة جدا، و (h(t هي دالة عشوائية تحقق h'(t₀) = h(t₁) = 0 , نفرض القوة ((F(r(t)+εh(t هي نفسها ((F(r(t فان الشغل المبذول W في هذة الحالة يحسب من التكامل:

${\displaystyle {\bar {W}}=\int _{\mathbf {r} (t_{0})=A}^{\mathbf {r} (t_{1})=B}\mathbf {F} \cdot d(\mathbf {r} +\epsilon \mathbf {h} )=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {d(\mathbf {r} (t)+\epsilon \mathbf {h} (t))}{dt}}~dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot (\mathbf {v} +\epsilon {\dot {\mathbf {h} }})~dt.}$

ويكون الاختلاف في الشغل δW عن الحالة الأولي:${\displaystyle \delta W={\bar {W}}-W=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(\mathbf {F} \cdot \epsilon {\dot {\mathbf {h} }})~dt.}$

وهو ما يعرف ب الشغل الافتراضي.

إذا لم يكن هناك أي قوي تقييد فانه يلزم وجود 6 معملات لتعريف حركة الجسيم P وإذا كان هناك k قوة تقييد حيث (k ≤ 6) في هذه الحالة يلزم وجود (n = (6 - k معامل. وحيث انه يمكن تعريف n متجه عام (q_i (t) (i = 1, 2, ..., n ثم تعريف (r(t و (δr=εh(t بدلالة هذه المتجهات العامة، فان:

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} (q_{1},q_{2},...,q_{n};t)}$

${\displaystyle \mathbf {h} (t)=\mathbf {h} (q_{1},q_{2},...,q_{n};t)}$

في هذه الحالة فان مشتقة التغير (δr=εh(t تعطي ب:${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\delta \mathbf {r} ={\frac {d}{dt}}\epsilon \mathbf {h} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\epsilon {\dot {q}}_{i},}$

ثم:${\displaystyle \delta W=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\epsilon {\dot {q}}_{i}\right)dt=\sum _{i=1}^{n}\left(\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\epsilon {\dot {q}}_{i}~dt\right).}$

وحيث انه مطلوب ان يكون الشغل الافتراضي بقيمة صفر لاي تغير عشوائي (δr(t)=εh(t فانه ينتج أن:

${\displaystyle Q_{i}=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}=0,\quad i=1,\ldots ,n.}$

حيث Q_i تسمي القوي العامه المصاحبة للازاحة الافتراضية δr

• ميكانيكا لاجرانج
• حساب المتغيرات
• شغل (ديناميكا حرارية)
• شغل (فيزياء)
• نظام ميكاني

• بوابة الفيزياء