أفق

بافتراض عدم وجود انكسار في الغلاف الجوي وأن الأرض كروية بنصف قطر R = 6,371 كيلومتر (3,959 ميل) :

• بالنسبة لمراقب يقف على الأرض مع h = 1.70 متر (5 قدم 7 بوصة)، الأفق على مسافة 4.7 كيلومتر (2.9 ميل).
• بالنسبة لمراقب يقف على الأرض مع h = 2 متر (6 قدم 7 بوصة)، الأفق على مسافة 5 كيلومتر (3.1 ميل).
• لمراقب يقف على تلة أو برج 30 متر (98 قدم) فوق مستوى سطح البحر، الأفق على مسافة 19.6 كيلومتر (12.2 ميل).
• لمراقب يقف على تلة أو برج 100 متر (330 قدم) فوق مستوى سطح البحر، الأفق على مسافة 36 كيلومتر (22 ميل).
• لمراقب يقف على سطح برج خليفة، 828 متر (2,717 قدم) من الأرض، وحول 834 متر (2,736 قدم) فوق مستوى سطح البحر، الأفق على مسافة 103 كيلومتر (64 ميل).
• لمراقب على القمة جبل ايفرست (8,848 متر (29,029 قدم) في الارتفاع)، الأفق على مسافة 336 كيلومتر (209 ميل).
• لمراقب على متن طائرة ركاب تجارية تحلق على ارتفاع نموذجي من 35,000 قدم (11,000 م)، الأفق على مسافة 369 كيلومتر (229 ميل).
• ل يو-2 الطيار، في حين تحلق في سقف خدمتها 21,000 متر (69,000 قدم)، الأفق على مسافة 517 كيلومتر (321 ميل).

على الكواكب الأرضية والأجرام السماوية الصلبة الأخرى ذات التأثيرات الجوية الضئيلة، تختلف المسافة إلى الأفق بالنسبة «للمراقب القياسي» حسب الجذر التربيعي لنصف قطر الكوكب. وبالتالي، فإن الأفق على عطارد هو 62٪ بعيدًا عن الراصد كما هو على الأرض، والرقم على المريخ 73٪، وعلى القمر 52٪، والرقم في ميماس هو 18٪، وهكذا.

الأساس الهندسي لحساب المسافة إلى الأفق، نظرية الظل القاطع

المسافة الهندسية إلى الأفق، نظرية فيثاغورس

ثلاثة أنواع من الأفق

إذا افترضنا أن الأرض عبارة عن كرة بلا معالم (وليست كروية مفلطحة) بدون انكسار في الغلاف الجوي، فيمكن عندئذٍ حساب المسافة إلى الأفق بسهولة.[7]

تنص نظرية الظل القاطع على ذلك

${\displaystyle \mathrm {OC} ^{2}=\mathrm {OA} \times \mathrm {OB} \,.}$

قم بإجراء البدائل التالية:

• d = OC = المسافة إلى الأفق
• D = AB = قطر الأرض
• h = OB = ارتفاع الراصد فوق مستوى سطح البحر
• D + h = OA = قطر الأرض بالإضافة إلى ارتفاع الراصد فوق مستوى سطح البحر،

مع d و D و h تُقاس جميعها بنفس الوحدات. تصبح الصيغة الآن، حيث R هو نصف قطر الأرض.

${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}=\mathrm {Dh} +\mathrm {h^{2}} \,.}$

يمكن أيضًا اشتقاق نفس المعادلة باستخدام نظرية فيثاغورس. في الأفق، يكون خط الرؤية مماسًا للأرض وعموديًا أيضًا على نصف قطر الأرض. هذا يشكل مثلثًا قائمًا، حيث يكون مجموع نصف القطر والارتفاع بمثابة الوتر. مع

• d = المسافة إلى الأفق
• h = ارتفاع الراصد فوق مستوى سطح البحر
• R = نصف قطر الأرض

وبالرجوع إلى الشكل الثاني على اليمين يؤدي إلى ما يلي:

${\displaystyle (R+h)^{2}=R^{2}+d^{2}\,\!}$

${\displaystyle R^{2}+2Rh+h^{2}=R^{2}+d^{2}\,\!}$

${\displaystyle d={\sqrt {h(2R+h)}}\,.}$

يمكن توسيع الصيغة الدقيقة أعلاه على النحو التالي:

${\displaystyle d={\sqrt {2Rh+h^{2}}}\,,}$

حيث R هو نصف قطر الأرض (يجب أن يكون R و h في نفس الوحدات). على سبيل المثال، إذا كان القمر الصناعي على ارتفاع 2000 كم تبلغ المسافة إلى الأفق 5,430 كيلومتر (3,370 ميل) ؛ إن إهمال الحد الثاني بين قوسين سيعطي مسافة 5,048 كيلومتر (3,137 ميل)، خطأ 7٪.

الرسوم البيانية للمسافات إلى الأفق الحقيقي على الأرض لارتفاع معين h. الصورة على طول سطح الأرض، D هي المسافة خط مستقيم، و~ d هو التقريبية مسافة خط مستقيم على افتراض ح < قطر الأرض، 6371 كم. في صورة SVG، حرك الماوس فوق الرسم البياني لتمييزه.

إذا كان الراصد قريبًا من سطح الأرض، فمن الصحيح تجاهل h في المصطلح (2R + h)، وتصبح الصيغة-

${\displaystyle d={\sqrt {2Rh}}\,.}$

باستخدام كيلومترات لـ d و R، ومتر لـ h، وأخذ نصف قطر الأرض كـ 6371 كم، المسافة إلى الأفق

${\displaystyle d\approx {\sqrt {2\cdot 6371\cdot {h/1000}}}\approx 3.570{\sqrt {h}}\,}$.

باستخدام الوحدات الإمبراطورية، مع d و R في الأميال النظامية (كما هو شائع الاستخدام على الأرض)، و h بالأقدام، فإن المسافة إلى الأفق هي

${\displaystyle d\approx {\sqrt {2\cdot 3963\cdot {h/5280}}}\approx {\sqrt {1.5h}}\approx 1.22{\sqrt {h}}}$.

إذا كانت d في ميل بحري، و h بالقدم، فإن العامل الثابت يكون حوالي 1.06، وهو قريب بدرجة كافية من 1 بحيث يتم تجاهله غالبًا، مما يعطي:

${\displaystyle d\approx {\sqrt {h}}}$

يمكن استخدام هذه الصيغ عندما يكون h أصغر بكثير من نصف قطر الأرض (6371 كم أو 3959 ميل)، بما في ذلك جميع المناظر من أي قمم جبلية أو طائرات أو بالونات عالية الارتفاع. مع الثوابت المعطاة، تكون كل من الصيغ المترية والإمبراطورية دقيقة في حدود 1٪ (انظر القسم التالي لمعرفة كيفية الحصول على دقة أكبر). إذا كانت h مهمة بالنسبة إلى R، كما هو الحال مع معظم الأقمار الصناعية، فإن التقريب لم يعد صالحًا، والصيغة الدقيقة مطلوبة.

أقصى زاوية ذروة للمراقب المرتفع في جو كروي متجانس

عندما يرتفع الراصد، يمكن أن تكون زاوية ذروة الأفق أكبر من 90 درجة. تحدث أقصى زاوية سمت مرئية عندما يكون الشعاع مماساً لسطح الأرض؛ من المثلث OCG في الشكل على اليمين،

${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {R}{R+h}}}$

حيث أن ${\displaystyle h}$ هو ارتفاع الراصد فوق السطح و ${\displaystyle \gamma }$ هو الانحدار الزاوي للأفق. وهي مرتبطة بزاوية ذروة الأفق ${\displaystyle z}$ بواسطة:

${\displaystyle z=\gamma +90{}^{\circ }}$

لارتفاع غير سالب ${\displaystyle h}$، الزاوية ${\displaystyle z}$ دائما ≥ 90 درجة.

مسافة الأفق الهندسي

لحساب أكبر مسافة يمكن للمراقب من خلالها رؤية الجزء العلوي من جسم ما فوق الأفق، احسب المسافة إلى الأفق لمراقب افتراضي أعلى ذلك الكائن، وأضفه إلى مسافة المراقب الحقيقية إلى الأفق. على سبيل المثال، لمراقب يبلغ ارتفاعه 1.70 متر على الأرض، الأفق 4.65 كم. لبرج ارتفاعه 100 م، مسافة الأفق 35.7 كم. وهكذا يمكن للمراقب الموجود على الشاطئ أن يرى قمة البرج طالما أنه لا يزيد عن 40.35 كم. على العكس، إذا مراقب على متن قارب h = 1.7 m يمكن أن يرى فقط قمم الأشجار على شاطئ قريب h = 10 m والأشجار هي على الأرجح حوالي 16 كم.

بالإشارة إلى الشكل الموجود على اليمين، سيكون الجزء العلوي من المنارة مرئيًا للمراقبة في عش الغراب أعلى سارية القارب إذا

${\displaystyle D_{\mathrm {BL} }<3.57\,({\sqrt {h_{\mathrm {B} }}}+{\sqrt {h_{\mathrm {L} }}})\,,}$

حيث أن D _BL بالكيلومترات و h _B و h _L بالأمتار.

منظر عبر خليج يبلغ عرضه 20 كم في ساحل إسبانيا. لاحظ انحناء الأرض الذي يخفي قاعدة المباني على الشاطئ البعيد.

كمثال آخر، لنفترض أن مراقبًا، عينه فوق مستوى الأرض بمترين، يستخدم منظارًا للنظر إلى مبنى بعيد يعرف أنه يتكون من ثلاثين طابقًا، ارتفاع كل منها 3.5 متر. يحصي الطوابق التي يستطيع أن يراها، ويجد أن هناك عشرة فقط. لذلك فإن عشرين طابقا أو 70 مترا من المبنى مخفية عنه بانحناء الأرض. من هذا يمكنه حساب بعده عن المبنى:

${\displaystyle D\approx 3.57({\sqrt {2}}+{\sqrt {70}})}$

الذي يصل إلى حوالي 35 كيلومترًا.

من الممكن بالمثل حساب مقدار ما يمكن رؤيته من جسم بعيد فوق الأفق. لنفترض أن عين المشاهد تقع على ارتفاع 10 أمتار فوق مستوى سطح البحر، وأنه يشاهد سفينة يبلغ ارتفاعها 20 مترًا كم. أفقه:

${\displaystyle 3.57{\sqrt {10}}}$

كيلومترًا منه، والذي يصل إلى حوالي 11.3 كيلومترًا. السفينة هي 8.7 كم. يتم تحديد ارتفاع نقطة على السفينة والتي يمكن رؤيتها فقط للمراقب من خلال:

${\displaystyle h\approx \left({\frac {8.7}{3.57}}\right)^{2}}$

والذي يصل ارتفاعه إلى ستة أمتار تقريبًا. لذلك يمكن للمراقب أن يرى ذلك الجزء من السفينة الذي يزيد ارتفاعه عن ستة أمتار عن مستوى الماء. جزء السفينة الذي يقع تحت هذا الارتفاع مخفي عنه بانحناء الأرض. في هذه الحالة، يقال أن السفينة كانت متدلية.

في الصورة يتضح تأثير تحدب الأرض على رؤية الأجسام البعيدة حيث تختفي خلف الأفق من أسفل إلى أعلى

ويلاحظ عدم تغير حجم السفينة الظاهري كثيرًا مما يثبت أن الاختفاء بهذه الطريقة بسبب كروية الأرض وليس تأثير المنظور.

تأثير تحدب الأرض على رؤية الأجسام البعيدة حيث تختفي خلف الأفق من أسفل إلى أعلى

غروب الشمس في استراليا ويتضح الأفق البحري بوضوح

اختفاء سفينة على بُعد 21.5 كيلو مترًا

تأثير الانكسار الجوي بسبب الانكسار في الغلاف الجوي، تكون المسافة إلى الأفق المرئي أكبر من المسافة بناءً على حساب هندسي بسيط. إذا كان سطح الأرض (أو الماء) أبرد من الهواء فوقه، تتشكل طبقة كثيفة وباردة من الهواء بالقرب من السطح، مما يتسبب في انكسار الضوء إلى أسفل أثناء انتقاله، وبالتالي، إلى حد ما، للالتفاف حول انحناء الأرض. يحدث العكس إذا كانت الأرض أكثر سخونة من الهواء فوقها، كما يحدث غالبًا في الصحاري، مما ينتج السراب. كتعويض تقريبي للانكسار، يقوم المساحون الذين يقيسون مسافات أطول من 100 متر بطرح 14٪ من خطأ الانحناء المحسوب ويضمنون أن تكون خطوط الرؤية على بعد 1.5 متر على الأقل من الأرض، لتقليل الأخطاء العشوائية الناتجة عن الانكسار.

أفق الصحراء النموذجي

إذا كانت الأرض خالية من الهواء مثل القمر، فإن الحسابات المذكورة أعلاه ستكون دقيقة. ومع ذلك، تتمتع الأرض بجو من الهواء، تختلف كثافته ومعامل انكساره اختلافًا كبيرًا حسب درجة الحرارة والضغط. هذا يجعل الهواء يتسبب في انكسار الضوء بدرجات متفاوتة، مما يؤثر على مظهر الأفق. عادة، تكون كثافة الهواء فوق سطح الأرض أكبر من كثافته عند ارتفاعات أكبر. وهذا يجعل معامل انكساره بالقرب من السطح أكبر منه في الارتفاعات العالية، مما يتسبب في انكسار الضوء الذي يسافر أفقيًا تقريبًا إلى الأسفل.[8] هذا يجعل المسافة الفعلية إلى الأفق أكبر من المسافة المحسوبة بالصيغ الهندسية. في الظروف الجوية القياسية، يكون الفرق حوالي 8٪. هذا يغير عامل 3.57، في الصيغ المترية المستخدمة أعلاه، إلى حوالي 3.86.[3] على سبيل المثال، إذا كان المراقب يقف على شاطئ البحر، بعيون 1.70 متر فوق مستوى سطح البحر، وفقًا للصيغ الهندسية البسيطة المعطاة فوق الأفق، يجب أن تكون 4.7 كم في الواقع، يسمح الانكسار الجوي للمراقب برؤية مسافة أبعد بمقدار 300 متر، لتحريك الأفق الحقيقي على بعد 5 كيلومترات من المراقب.

يمكن تطبيق هذا التصحيح، وغالبًا ما يتم، كتقريب جيد إلى حد ما عندما تكون ظروف الغلاف الجوي قريبة من المعيار. عندما تكون الظروف غير معتادة، يفشل هذا التقريب. يتأثر الانكسار بشدة بتدرجات درجة الحرارة، والتي يمكن أن تختلف اختلافًا كبيرًا من يوم لآخر، خاصة فوق الماء. في الحالات القصوى، عادةً في فصل الربيع، عندما يكسو الهواء الدافئ الماء البارد، يمكن أن يسمح الانكسار للضوء بتتبع سطح الأرض لمئات الكيلومترات. تحدث الظروف المعاكسة، على سبيل المثال، في الصحاري، حيث يكون السطح شديد الحرارة، ويكون الهواء الساخن منخفض الكثافة تحت الهواء البارد. يتسبب هذا في انكسار الضوء لأعلى، مما يتسبب في آثار السراب التي تجعل مفهوم الأفق بلا معنى إلى حد ما. لذلك فإن القيم المحسوبة لتأثيرات الانكسار في ظل ظروف غير عادية هي قيم تقريبية فقط.[3] ومع ذلك، بذلت محاولات لحسابها بدقة أكبر من التقريب البسيط الموصوف أعلاه.

خارج نطاق الطول الموجي المرئي، سيكون الانكسار مختلفًا. للرادار (على سبيل المثال للأطوال الموجية 300 إلى 3 مم أي الترددات بين 1 و 100 GHz) يمكن ضرب نصف قطر الأرض في 4/3 للحصول على نصف قطر فعال يعطي العامل 4.12 في الصيغة المترية، أي أن أفق الرادار سيكون 15٪ وراء الأفق الهندسي أو 7٪ بعد المرئي. العامل 4/3 ليس دقيقًا، لأنه في الحالة المرئية يعتمد الانكسار على الظروف الجوية.

طريقة التكامل - سوير

إذا كان المظهر الجانبي لكثافة الغلاف الجوي معروفًا، تُعطى المسافة d إلى الأفق بواسطة [9]

${\displaystyle d={{R}_{\text{E}}}\left(\psi +\delta \right)\,,}$

حيث أن R _E هو نصف قطر الأرض، هو ψ تراجع من الأفق وδ هو انكسار في الأفق. يتم تحديد الانخفاض إلى حد ما ببساطة من

${\displaystyle \cos \psi ={\frac {{R}_{\text{E}}{\mu }_{0}}{\left({{R}_{\text{E}}}+h\right)\mu }}\,,}$

حيث أن h هو ارتفاع الراصد فوق الأرض، و μ هو مؤشر انكسار الهواء عند ارتفاع الراصد، و μ ₀ هو مؤشر انكسار الهواء على سطح الأرض.

يجب إيجاد الانكسار بتكامل

${\displaystyle \delta =-\int _{0}^{h}{\tan \phi {\frac {{\text{d}}\mu }{\mu }}}\,,}$

حيث أن ${\displaystyle \phi \,\!}$ هي الزاوية بين الشعاع والخط المار بمركز الأرض. الزوايا ψ و ${\displaystyle \phi \,\!}$ ترتبط ب

${\displaystyle \phi =90{}^{\circ }-\psi \,.}$

طريقة بسيطة - يونغ

نهج أبسط من ذلك بكثير، والتي تنتج أساسا على نفس النتائج عند تقريب من الدرجة الأولى المذكورة أعلاه، يستخدم نموذج هندسي ولكن يستخدم دائرة نصف قطرها R′ = 7/6 R_E المسافة إلى الأفق إذن هي [3]

${\displaystyle d={\sqrt {2R^{\prime }h}}\,.}$

أخذ نصف قطر الأرض 6371 كم، مع d في km و h في m،

${\displaystyle d\approx 3.86{\sqrt {h}}\,;}$

مع d في ميل و h في قدم،

${\displaystyle d\approx 1.32{\sqrt {h}}\,.}$

نتائج طريقة يونج قريبة جدًا من نتائج طريقة سوير، وهي دقيقة بدرجة كافية للعديد من الأغراض.