خوارزمية ديكسترا

سنطلق على العقدة التي نبدأ منها اسم العقدة الأولية. لتكن المسافة حتى العقدة Y هي المسافة من العقدة الأولية حتى العقدة Y. ستقوم خوارزمية دايكسترا بإسناد قيم معينة للمسافات وتحاول بعد ذلك القيام بتحسين هذه المسافات خطوة بعد خطوة.

1. أسند لكل عقدة قيمة ما تمثل المسافة: دع هذه القيمة صفراً بالنسبة للعقدة الأولية، ولانهاية بالنسبة لباقي العقد.
2. علّم كافة العقد بأنها غير مزارة، علّم العقدة الأولية بأنها العقدة الحالية. اصنع مجموعة من العقد التي لم تتم زيارتها بعد وادعُ هذه المجموعة مجموعة العقد غير المزارة، تتضمن هذه المجموعة بدايةً كافة العقد.
3. قم بتحديد كافة جيران العقدة الحالية واحسب المسافات من هذه العقد إلى العقدة الحالية. قارن المسافات الجديدة مع المسافات القديمة واختر الأصغر. على سبيل المثال، لتكن العقدة الحالية A معلّمة بالمسافة 6، وليكن الضلع (الحافة) التي تصل A بالعقدة B بطول مقداره 2، وبالتالي فإن المسافة حتى العقدة B (من خلال العقدة A) ستكون 6+2=8. إذا كانت B معلمة سابقاً بمسافة أقل من 8 عندئذ لا نغير قيمة B، وإذا لم تكن كذلك فإننا نقوم بتغييرها.
4. عند الانتهاء من تعيين قيم كافة جيران العقدة الحالية، فإننا نعلم العقدة الحالية بأنها عقدة مزارة ونحذفها من مجموعة العقدة غير المزارة بحيث لا نقوم لاحقاً بإعادة زيارتها.
5. إذا تم تعليم العقدة الهدف بأنها عقدة مزارة (في حال البحث عن مسار بين عقدتين معطيتين) أو إذا كانت المسافة الأصغر من بين كافة العقد الموجودة في مجموعة العقد غير المزارة (في حال البحث عن جولة كاملة؛ يحدث ذلك في حال عدم وجود اتصال بين العقدة الأولية وباقي العقد غير المزارة) عندئذ يجب أن نتوقف وينتهي عمل الخوارزمية.
6. اختر العقدة غير المزارة التي لديها المسافة الأصغر وعلّم هذه العقدة بأنها العقدة الحالية وعُد إلى الخطوة 3.

الخوارزمية تعتمد بشكل كبير على انه إذا وجدنا المسار الأقصر بين v و-u لنُسمه ${\displaystyle p=(t_{0},t_{1},...,t_{k})}$ بحيث أن k هو طول المسار ووزنه هو ${\displaystyle W(p)=\sum _{i=0}^{k}W(t_{i},t_{i+1})}$ و- ${\displaystyle t_{0}=v}$ , حينئذ إذا نظرنا للمسارات الجزئية من v حتى ${\displaystyle t_{i}}$ نجد حينها أنها هي الأقصر. وهذه المُعاينة تعتمد على أنَّ الأوزان موجبة .

ما يلي هو تطبيق الخوارزمية بلغة java,[5] وهذا التطبيق هو ليس الأفضل بالضرورة ولكنه نموذج لطريقة التطبيق :

class Dijkstra
{
	double[] dist = new double[G.V()];
	Edge[] pred = new Edge[G.V()];
	public Dijkstra(WeightedDigraph G, int s)
	{
		boolean[] marked = new boolean[G.V()];
		for (int v = 0; v <G.V(); v++)
			dist[v] = Double.POSITIVE_INFINITY;
		MinPQplus<Double, Integer> pq;
		pq = new MinPQplus<Double, Integer>(); \\Priority Queue
		dist[s] = 0.0;
		pq.put(dist[s], s);
		while (!pq.isEmpty())
		{
			int v = pq.delMin();
				if (marked[v]) continue;
			marked(v) = true;
			for (Edge e : G.adj(v))
			{
				int w = e.to();
				if (dist[w]> dist[v] + e.weight())
				{
					dist[w] = dist[v] + e.weight();
					pred[w] = e;
					pq.insert(dist[w], w);
				}
			}
		}
	}
}