دالة روزين بروك

في الإستمثال الرياضي , تعتبر دالة روزين بروك دالة غير محدبة وتستخدم كمشكلة في اختبار إستمثال الخوارزميات . وسميت على اسم هاورد روزين بروك عام 1960 .[1] وهي تعرف أيضا بدالة الموز ( banana function ) .
وهدف الدالة هو الحصول على أفضل وأقل قيمة .

رسمة لدالة روزين بروك في متغيرين

وتعرف الدالة بالشكل التالي :

$f(x,y)=(a-x)^{2}+b(y-x^{2})^{2}$

والقيمة الصغري لها عند :

$(x,y)=(a,a^{2})$
حيث :
$f(x,y)=0$
وعادة ما تكون
$a=1$
و
$b=100$ .

التعميمات متعددة الأبعاد

دالة روزين بروك

عادة نواجة متغيرين مختلفين . الأول هو مجموع $N/2$ , وتفك بالمعادلة التالية :

f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{N})=\sum _{i=1}^{N/2}\left[100(x_{2i-1}^{2}-x_{2i})^{2}+(x_{2i-1}-1)^{2}\right].

[2]

وتكون قيم $N$ موجبة فقط .ويكون للدالة في هذة الحالة حلول بسيطة ويمكن التنبؤ بها .

والمتغير الثاني هو :

f(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{N-1}100(x_{i+1}-x_{i}^{2})^{2}+(1-x_{i})^{2}\quad {\mbox{where}}\quad \mathbf {x} =[x_{1},\ldots ,x_{N}]\in \mathbb {R} ^{N}.

[3]

وهذا المتغير تبين أن لدية قيمة صغري واحدة فقط ل $N=3$ عند $(1,1,1)$ . وقيمتين صغري لكل N قيمتها من $4\leq N\leq 7$ وهذة القيمة الصغري تقع بالقرب من النقطة $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{N})=(-1,1,\dots ,1)$ . ويتم الحصول على هذة النتيجة بجعل درجة الدالة تساوي صفر .ويتم استخدام مبرهنة ستورم للحصول على عدد الجذور الحقيقية للدالة بشرط أن تكون قيمة $|x_{i}|<2.4$ .[4] وإذا كانت قيمة $N$ أكبر تفشل هذة الطريقة بسبب حجم المعاملات .

النقاط الثابتة

العديد من الجذور تظهر نمط منتظم عندما يتم رسمها .

النقاط الثابتة

انظر أيضا

المصادر

Rosenbrock, H.H. (1960)، "An automatic method for finding the greatest or least value of a function"، The Computer Journal، 3: 175–184، doi:10.1093/comjnl/3.3.175، ISSN 0010-4620.
Dixon, L. C. W.؛ Mills, D. J. (1994)، "Effect of Rounding Errors on the Variable Metric Method"، Journal of Optimization Theory and Applications، 80، مؤرشف من الأصل في 14 أبريل 2020.
"Generalized Rosenbrock's function"، مؤرشف من الأصل في 18 يونيو 2018، اطلع عليه بتاريخ 16 سبتمبر 2008.
Kok, Schalk؛ Sandrock, Carl (2009)، "Locating and Characterizing the Stationary Points of the Extended Rosenbrock Function"، Evolutionary Computation، 17، doi:10.1162/evco.2009.17.3.437.

ملاحظات

Rosenbrock, H. H. (1960)، "An automatic method for finding the greatest or least value of a function"، The Computer Journal، ج. 3، ص. 175–184، doi:10.1093/comjnl/3.3.175، ISSN 0010-4620، MR 0136042

وصلات خارجية

Rosenbrock function plot in 3D
Minimizing the Rosenbrock Function by Michael Croucher
إيريك ويستاين، Rosenbrock Function، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).

بوابة تحليل رياضي

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Rosenbrock, H.H. (1960)، "An automatic method for finding the greatest or least value of a function"، The Computer Journal، 3: 175–184، doi:10.1093/comjnl/3.3.175، ISSN 0010-4620.

[2] Dixon, L. C. W.؛ Mills, D. J. (1994)، "Effect of Rounding Errors on the Variable Metric Method"، Journal of Optimization Theory and Applications، 80، مؤرشف من الأصل في 14 أبريل 2020.

[3] "Generalized Rosenbrock's function"، مؤرشف من الأصل في 18 يونيو 2018، اطلع عليه بتاريخ 16 سبتمبر 2008.

[kok2009-4] Kok, Schalk؛ Sandrock, Carl (2009)، "Locating and Characterizing the Stationary Points of the Extended Rosenbrock Function"، Evolutionary Computation، 17، doi:10.1162/evco.2009.17.3.437.