صيغ فييت (جذور)

لتكن متعددة الحدود التالية

${\displaystyle P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}}$

من الدرجة ${\displaystyle n\geq 1}$ بمعاملات عقدية (حيث المعاملات ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n}}$ هن أعداد عقدية و${\displaystyle a_{n}}$ لا يساوي الصفر). حسب المبرهنة الأساسية في الجبر فإن لكثير الحدود هذا n جذرا (ليس بالضرورة أن تكون متمايزة)${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}.}$. تنص صيغ فييت على ما يلي:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}={\tfrac {-a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\\vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}}$

قد تكتب صيغ فييت، وبشكل مكافئ لما سبق، كما يلي:

${\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}\left(\prod _{j=1}^{k}r_{i_{j}}\right)=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}},}$

من أجل المعادلة ${\displaystyle P(X)=aX^{2}+bX+c}$ والتي هي معادلة من الدرجة الثانية فتعطي صيغ فييتة على أن جذور هذه المعادلة تحقق ما يلي:

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.}$

الجذور ${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3}}$ لمعادلة تكعيبية ${\displaystyle P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ تحقق المعادلات الثلاث التالية :

${\displaystyle r_{1}+r_{2}+r_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}={\frac {c}{a}},\quad r_{1}r_{2}r_{3}=-{\frac {d}{a}}.}$

يمكن البرهان على صيغ فييت بنشر المعادلة التالية:

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n})}$

يعود اكتشاف هذه الصيغ، كما يدل على ذلك اسمهن، إلى عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت الذي عاش في القرن السادس عشر متوفيا في فجر القرن السابع عشر (عام 1604). لم يعمم فييت صيغه على الحالات حيث تكون الجذور سالبة. ويعتقد أن عالم رياضيات آخر، فرنسي أيضا، هو أول من فهم وعمم هذه الصيغ على جميع الحالات. يسمى هذا العالم ألبرت جيرارد.

• متطابقات نيوتن
• متعددة حدود تماثلية
• خواص جذور متعددة حدود
• مبرهنة غاوس–لوكاس
• مبرهنة الجذر النسبي

• بوابة رياضيات
• بوابة جبر