ضرب هادامار

لمصفوفتين ${\displaystyle A}$ و ${\displaystyle B}$ التي لهما أبعاد ${\displaystyle m\times n}$،[2] ضرب هادامار ${\displaystyle A\circ B}$ أو ${\displaystyle A\odot B}$[1][3][4][5] مصفوفة بنفس الأبعاد (أي ${\displaystyle m\times n}$ ) يتم حساب قيمها على النحو التالي:

${\displaystyle (A\circ B)_{ij}=(A\odot B)_{ij}=(A)_{ij}(B)_{ij}.}$

لم يتم تعريف هذا الضرب للمصفوفات ذات الأبعاد المختلفة.[5]

لمصفوفتين ${\displaystyle A}$ و ${\displaystyle B}$ (${\displaystyle 3\times 3}$) ضرب هادامار يساوي:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}\,b_{11}&a_{12}\,b_{12}&a_{13}\,b_{13}\\a_{21}\,b_{21}&a_{22}\,b_{22}&a_{23}\,b_{23}\\a_{31}\,b_{31}&a_{32}\,b_{32}&a_{33}\,b_{33}\end{bmatrix}}.}$

• إذا ${\displaystyle A}$ و ${\displaystyle B}$ المصفوفات التي لها نفس الأبعاد لا تزيد مرتبة ضرب هادمار عن رتب الضرب لمصفوفتين:[6]

${\displaystyle \operatorname {rank} (\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\leq \operatorname {rank} (\mathbf {A} )\operatorname {rank} (\mathbf {B} )}$

• إذا ${\displaystyle A}$ و ${\displaystyle B}$ و ${\displaystyle C}$ المصفوفات بنفس الأبعاد وکانت ${\displaystyle k}$ رقمًا حقيقيًا ثم:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {A} \circ \mathbf {B} =\mathbf {B} \circ \mathbf {A} ,\\&\mathbf {A} \circ (\mathbf {B} \circ \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\circ \mathbf {C} ,\\&\mathbf {A} \circ (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {A} \circ \mathbf {B} +\mathbf {A} \circ \mathbf {C} ,\\&\left(k\mathbf {A} \right)\circ \mathbf {B} =\mathbf {A} \circ \left(k\mathbf {B} \right)=k\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} \right),\\&\mathbf {A} \circ \mathbf {0} =\mathbf {0} \circ \mathbf {A} =\mathbf {0} .\end{aligned}}}$

• للنواقل ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$ ومصفوفاتهم القطرية ${\displaystyle D_{x}}$ و ${\displaystyle D_{y}}$ يتم إنشاء العلاقات التالية: [7]

${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\mathbf {y} =\mathrm {tr} \left(\mathbf {D} _{\mathbf {x} }^{*}\mathbf {A} \mathbf {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i}(A\circ B)_{ij}&=\left(B^{\mathsf {T}}A\right)_{jj}\\&=\left(AB^{\mathsf {T}}\right)_{ii}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \left(\mathbf {y} \mathbf {x} ^{*}\right)\circ \mathbf {A} =\mathbf {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {A} \mathbf {D} _{\mathbf {x} }^{*}}$

• لقيم ذاتية من المصفوفات ${\displaystyle A}$ و ${\displaystyle B}$ العلاقة التالية تحمل: [8]

${\displaystyle \prod _{i=k}^{n}\lambda _{i}(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\geq \prod _{i=k}^{n}\lambda _{i}(\mathbf {A} \mathbf {B} ),\quad k=1,\ldots ,n,}$

• مصفوفة (رياضيات)
• جاك هآدمار
• ضرب المصفوفات
• قيم ذاتية ومتجهات ذاتية
• مصفوفة قطرية

• بوابة جبر
• بوابة رياضيات