مبدأ كافالييري

المقطع العرضي الدائري في الكرة له نفس مساحة المقطع العرضي الخاتميّ في جزء الأسطوانة الموجود خارج المخروط.

إذا علمنا أن حجم المخروط هو 1/3 * القاعدة * الارتفاع، يمكننا استخدام مبدأ كافالييري للتوصّل إلى أن حجم الكرة هو ${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$حيث ${\displaystyle r}$ هو نصف القطر.

ويتم ذلك على النحو التالي: لنتخيّل كرة نصف قطرها ${\displaystyle r}$ واسطوانة قطرها ${\displaystyle r}$ وارتفاعها ${\displaystyle r}$. داخل الأسطوانة، يوجد مخروط رأسه في مركز الكرة، وقاعدته هي قاعدة الأسطوانة. حسب نظرية فيثاغورس، المستوى الذي يقع على ارتفاع ${\displaystyle y}$ فوق «خط الاستواء» يتقاطع مع الكرة في مساحة قدرها ${\displaystyle \pi \left(r^{2}-y^{2}\right)}$. المساحة المتشكّلة من التقاطع مع الجزء الخارجي من المخروط هي أيضا ${\displaystyle \pi \left(r^{2}-y^{2}\right)}$. حجم المخروط المذكور هو ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ حجم الاسطوانة، ولذا، حجم الجزء الخارجي للمخروط هو ${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$ حجم الاسطوانة. وبالتالي فإن حجم النصف العلوي من الكرة هو ${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$ حجم الاسطوانة. حجم الاسطوانة:

القاعدة * الارتفاع = ${\displaystyle {\text{base}}\times {\text{height}}=\pi r^{2}\cdot r=\pi r^{3}}$

(«القاعدة» في وحدات المساحة; «ارتفاع» في وحدات المسافة. المساحة × المسافة = حجم.)

وبالتالي فإن حجم النصف العلوي من الكرة ${\displaystyle \left({\frac {2}{3}}\right)\pi r^{3}}$ ، والكرة (بنصفيها) ${\displaystyle \left({\frac {4}{3}}\right)\pi r^{3}}$.

من أجل أن نبرهن أن حجم أي هرم، بغض النظر عن شكل قاعدته، سواء كانت دائرية كما في حالة المخروط، أو مربع كما في حالة الأهرامات المصرية، أو أي شكل آخر هو (1/3) × القاعدة × الارتفاع، يكفينا - بالاستناد إلى مبدأ كافالييري - أن نبرهن ذلك لهرم واحد.  يمكن، في البداية، أن نبيّن ذلك بتقسيم الجزء الداخلي من موشور ثلاثي إلى أجزاء هرمية متساوية الأحجام. تظهر المساواة بين هذه الأهرام الثلاث باستخدام مبدأ كافالييري.

في الواقع، مبدأ كافالييري أو ادعاء مشابه في متناهيات الصغر ضروري لحساب حجم المخاريط وحتى الأهرامات، وهي ما تنطوي عليه مشكلة هيلبرت الثالثة – الأهرامات متعددة السطوح والمخاريط لا يمكن تقطيعها وإعادة ترتيبها في شكل عادي (معياري)، لذلك يجب مقارنتها بوسائل حسابية متناهية الصغر. استخدم اليونانيون القدماء عدة طرق لحساب هذه الأحجام، مثل حجج أرخميدس الميكانيكية أو طريقة الاستنفاد لحساب هذه الكميات.