مبرهنة بايز

مجموعات جزئية من فضاء العينة S

لنفرض أن الأحداث ${\displaystyle A_{1}}$ و${\displaystyle A_{2}}$ و${\displaystyle A_{3}}$ و${\displaystyle A_{4}}$ و${\displaystyle A_{5}}$ تشكل تجزيئا لفضاء العينة ${\displaystyle S}$. أي أن ${\displaystyle A_{1}}$ و${\displaystyle A_{2}}$ و${\displaystyle A_{3}}$ و${\displaystyle A_{4}}$ و${\displaystyle A_{5}}$ مجموعات جزئية من فضاء العينة ${\displaystyle S}$ متنافية مثنى مثنى (لا يوجد تقاطع بين أي اثنين منها، واجتماعها جميعها يشكل فضاء العينة بكامله). لنفرض أن حدثا ضمن فضاء العينة ${\displaystyle B}$ (المنطقة المظللة) فإن :[2]

${\displaystyle B=(S\cap B)=(A_{1}\cap B)\cup (A_{2}\cap B)\cup (A_{3}\cap B)\cup (A_{4}\cap B)\cup (A_{5}\cap B)}$

وبما أن ${\displaystyle A_{1}}$ و${\displaystyle A_{2}}$ و${\displaystyle A_{3}}$ و${\displaystyle A_{4}}$ و${\displaystyle A_{5}}$ متنافية مثنى مثنى فإن الأحداث ${\displaystyle B\cap A_{i}}$ متنافية أيضا مثنى :

${\displaystyle P(B)=P(A_{1}\cap B)+P(A_{2}\cap B)+P(A_{3}\cap B)+P(A_{4}\cap B)+P(A_{5}\cap B)}$

باستخدام علاقة الاحتمال الشرطي :

${\displaystyle P(B)=P(B|A_{1})P(A_{1})+P(B|A_{2})P(A_{2})+P(B|A_{3})P(A_{3})+P(B|A_{4})P(A_{4})+P(B|A_{5})P(A_{5})}$

تقوم مبرهنة بايز بربط الاحتمالات الشرطية conditional والاحتمالات الحافية marginal probabilities, لكي نقوم باستنتاج هذه المبرهنة، لا بد لنا أن نبدأ من تعريف الاحتمال الشرطي:[3]

${\displaystyle P(A|B)P(B)=P(A\cap B)=P(B|A)P(A)\,}$

وهو ما يقرأ(جداء الاحتمال الشرطي ل ${\displaystyle A}$ بمعرفة ${\displaystyle B}$ في احتمال ${\displaystyle B}$) يعطي احتمال حدوث ${\displaystyle A}$ و${\displaystyle B}$ معا وهويساوي أيضا (جداء الاحتمال الشرطي ل ${\displaystyle B}$ بمعرفة ${\displaystyle A}$ في احتمال A).

باعتبار ${\displaystyle P(B)}$ ليس معدوما نقوم بقسمة طرفي المعادلة السابقة عليه:

${\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B)}}}$

وهونص ما يعرف عادة بمبرهنة بايز.

تقرأ : " الاحتمال الشرطي للحدث ${\displaystyle A}$ بمعرفة الحدث ${\displaystyle B}$ يساوي إلى احتمال ${\displaystyle B}$ بمعرفة ${\displaystyle A}$ مضروبا باحتمال ${\displaystyle A}$ مقسوما على احتمال ${\displaystyle B}$. "

• نظرية الاحتمال
• معضلة شروق الشمس

• بوابة رياضيات
• بوابة إحصاء