متغير عشوائي

في تجربة احتمالات قمنا بها، حصلنا على فضاء العينات التالي ${\displaystyle \Omega =\{{\omega }_{1},{\omega }_{2},{\omega }_{3},\cdots ,{\omega }_{n}\}}$ ، نُعرف المتغيير العشوائي ${\displaystyle X}$ كما يلي:

${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$، حيث:

${\displaystyle \forall i=1,2,\cdots ,n\,,\forall {\omega }_{i}\in \Omega ,\exists c\in \mathbb {R} :X({\omega }_{i})=c}$

أي أن ${\displaystyle X}$ يأخذ كل حدث ${\displaystyle \omega }$ من فضاء العينات ${\displaystyle \Omega }$، ويربطه مع رقم معين ذو معنى - سنرى لاحقًا - من فضاء الأرقام ${\displaystyle \mathbb {R} }$. ع_ه

• مثال «أ»:

في تجربة بسيطة كتجربة رمي حجر النرد، مع التشديد على أن حجر النرد غير مزيف، يمكن لتجربتنا أن تنتهي بنتيجة من النتائج التالية: إما أنا حصلنا على الرقم 1 - الوجه العلوي للحجر -، أو على الرقم 2.... أو على الرقم 6. لذلك فإن فضاء العينات لتجربتنا «رمي حجر الترد» هو ${\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}}$.
نُعرف المتغيير العشوائي ${\displaystyle X}$ بأنه الناتج نفسه من رمي حجر النرد، أي:
${\displaystyle \forall i=1,2,3,4,5,6\quad X({\omega }_{i})={\omega }_{i}}$

لذلك فإن القيم التي يمكن للمتغيير العشوائي ${\displaystyle X}$ أن يأخذها هي أيضًا المجموعة ${\displaystyle X=\{1,2,3,4,5,6\}}$.

• مثال «ب»:

في تجربة أكثر تعقيدًا من التي في مثال «أ»، تقوم وزارة الإسكان بعمل إحصاء لسكان الدولة الذكور منهم. نختار رجلًا من مجموعة الرجال ونرمز له بـ ${\displaystyle \omega }$.
المتغيير العشوائي A هو عمر هذا الرجل، والمتغيير العشوائي C هو عدد أولاده.

${\displaystyle A:\Omega \to \mathbb {R} ,\omega \mapsto A(\omega )={\text{age of }}\omega }$

${\displaystyle C:\Omega \to \mathbb {N} ,\omega \mapsto C(\omega )={\text{number of }}\omega {\text{'s children}}}$

نلاحظ أن المتغيير العشوائي ${\displaystyle C}$ يربط كل حدث - رجل - برقم صحيح - أي بـ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ - وليس برقم حقيقي ${\displaystyle \mathbb {R} }$، وهذا أمر ممكن، كونه يشير إلى عدد أولاد هذا الرجل، فلا يمكن أن يكون عدد أولاده كسورًا.

• بوابة رياضيات
• بوابة إحصاء