معادلة لابلاس

في الأبعاد الثلاثية، وبافتراض أن ${\displaystyle \scriptstyle f}$, دالة بمتغيرات حقيقية x, y, z فإن معادلة تكون على الشكل التالي:

في الإحداثيات الديكارتية

${\displaystyle \Delta f={\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}=0.}$

في الإحداثيات الإسطوانية,

${\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}=0}$

في الإحداثيات الكروية,

${\displaystyle \Delta f={1 \over \rho ^{2}}{\partial \over \partial \rho }\!\left(\rho ^{2}{\partial f \over \partial \rho }\right)\!+\!{1 \over \rho ^{2}\!\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\!\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)\!+\!{1 \over \rho ^{2}\!\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0.}$

وتكتب حسب الآتي

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0\,}$

أو خاصة في سياق أعم:

${\displaystyle \Delta \varphi =0,\,}$

حيث ∆ = ∇² هما مؤثر لابلاس أو «لابلاسي»

${\displaystyle \Delta \varphi =\nabla ^{2}\varphi =\nabla \cdot \nabla \varphi =\operatorname {div} \;\operatorname {grad} \,\varphi ,}$

حيث ∇ ⋅ = div هي التباعد، و∇ = grad يمثل التدرج.

أما إذا كان الطرف الأيمن للمعادلة يحتوي على الدالة f(x, y, z), فإن المعادلة تكتب على الشكل التالي

${\displaystyle \Delta \varphi =f\,}$

وهذه هي «معادلة بواسون».

• بوابة تحليل رياضي
• بوابة الفيزياء