Álgebra de Banach

Si ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ son álgebras de Banach sobre el cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$, diremos que ${\displaystyle \rho :A\rightarrow B}$ es un homomorfismo de álgebras de Banach si ${\displaystyle \rho }$ es una función ${\displaystyle \mathbb {K} }$-lineal que respeta la multiplicación en ambas álgebras, esto es

${\displaystyle \rho (x\cdot _{A}y)=\rho (x)\cdot _{B}\rho (y)}$ para todo ${\displaystyle x,y\in A}$,

donde ${\displaystyle \cdot _{A}}$ y ${\displaystyle \cdot _{B}}$ son las multiplicaciones en ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ respectivamente.

Dado un homomorfismo ${\displaystyle \rho }$ definimos como el núcleo o kernel de ${\displaystyle \rho }$ al conjunto ${\displaystyle {\text{ker}}(\rho ):=\left\{x\in A;\,\,\rho (x)=0\right\}}$el cual no es difícil ver que corresponde a un ideal de ${\displaystyle A}$.

Es importante tener en mente que no todo homomorfismo entre álgebras de Banach es continuo.

Un álgebra de Banach es llamada unitaria si posee un elemento neutro o unidad, esto es, existe ${\displaystyle 1_{A}\in A}$ tal que ${\displaystyle 1_{A}\cdot x=x\cdot 1_{A}=x}$ para todo ${\displaystyle x\in A}$. No es difícil comprobar que ${\displaystyle \Vert 1_{A}\Vert _{A}\geq 1}$, de hecho podemos crear una norma equivalente a ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{A}}$, digamos ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{A}^{\prime }}$ tal que ${\displaystyle \Vert 1_{A}\Vert _{A}^{\prime }=1}$. De este modo, en toda álgebra de Banach unitaria puede suponerse que la norma de la unidad es ${\displaystyle 1}$.

Cualquier álgebra de Banach ${\displaystyle A}$ (unitaria o no) puede ser incrustada isométricamente en un álgebra de Banach unitaria ${\displaystyle A_{e}}$ de tal modo que la imagen de ${\displaystyle A}$ sería un ideal cerrado de ${\displaystyle A_{e}}$. En otras palabras, existe un homomorfimos de álgebras de Banach ${\displaystyle \rho :A\rightarrow A_{e}}$ isométrico tal que ${\displaystyle A_{e}}$ es unitaria y ${\displaystyle \rho (A)}$ es un ideal de ${\displaystyle A_{e}}$.

Comúnmente se asume desde un principio que un álgebra de Banach es unitaria,[1] la existencia de la unidad en ${\displaystyle A_{e}}$ ayuda a desarrollar una gran cantidad de resultados que pueden ser trasladados al álgebra de Banach original ${\displaystyle A}$. Sin embargo este no siempre es el caso, por ejemplo no es posible definir todas las funciones trigonométricas en un álgebra de Banach sin la existencia de la unidad. Otro ejemplo común ocurre en el caso de las C*-álgebras, donde si ${\displaystyle A}$ no tiene unidad, entonces el espectro de Gelfand de ${\displaystyle A_{e}}$ será compacto mientras que el de ${\displaystyle A}$ sólo será localmente compacto.

Supondremos en esta parte que el álgebra de Banach ${\displaystyle A}$ es unitaria con unidad ${\displaystyle 1_{A}}$. Sea ${\displaystyle x\in A}$, diremos que ${\displaystyle x}$ es invertible en ${\displaystyle A}$ si existe un elemento ${\displaystyle y\in A}$ tal que ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x=1_{A}}$. No es difícil ver que este elemento ${\displaystyle y}$ es único, usualmente se define ${\displaystyle x^{-1}:=y}$. Un subconjunto importante del álgebra ${\displaystyle A}$ corresponde a

${\displaystyle {\text{Inv}}(A):=\left\{x,\,\,x{\text{ es invertible en }}A\right\}}$,

el cual una de sus propiedades es ser un subconjunto abierto de ${\displaystyle A}$.[2] Un problema interesante ocurre cuando consideramos una sub álgebra ${\displaystyle S\subset A}$ y observar si efectivamente ${\displaystyle {\text{Inv}}(S)\subset S}$, a estas sub álgebras las llamamos simétricas.

Más aún, la función ${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$ en ${\displaystyle {\text{Inv}}(A)}$ es continua, transformando a este espacio en un grupo topológico.[2]

Sea ${\displaystyle X}$ un espacio de Hausdorff localmente compacto, definimos entonces

${\displaystyle C_{0}(X):=\left\{f:X\rightarrow \mathbb {C} ,\,\,{\text{continuas que se anulan en el infinito}}\right\}}$,

en donde "anular en el infinito" significa lo siguiente: para todo ${\displaystyle \epsilon >0}$, existe un compacto ${\displaystyle K\subseteq X}$ tal que ${\displaystyle |f(x)|\leq \epsilon }$ para todo ${\displaystyle x\in X\setminus K}$.

(${\displaystyle X}$ debe satisfacer también la condición de ser ${\displaystyle \sigma }$-compacto).

El espacio ${\displaystyle C_{0}(X)}$ se transforma en un álgebra de compleja mediante la operación puntual, estos es, dadas ${\displaystyle f,g\in C_{0}(X)}$ y ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ se tiene

• Ponderación: ${\displaystyle \lambda f:X\rightarrow \mathbb {C} }$ donde ${\displaystyle (\lambda f)(x)=\lambda f(x)}$ para todo ${\displaystyle x\in X}$.
• Suma: ${\displaystyle f+g:X\rightarrow \mathbb {C} }$ donde ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ para todo ${\displaystyle x\in X}$.
• Multiplicación: ${\displaystyle f\cdot g:X\rightarrow \mathbb {C} }$ donde ${\displaystyle (f\cdot g)(x)=f(x)g(x)}$ para todo ${\displaystyle x\in X}$.

Usando la norma del supremo ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{\infty }}$ definida por

${\displaystyle \Vert f\Vert _{\infty }:=\sup \left\{|f(x)|,\,\,x\in X\right\}}$,

se tiene que ${\displaystyle C_{0}(X)}$ se transforma en un álgebra de Banach.

Si se añade la condición de que el espacio ${\displaystyle X}$ sea compacto, entonces la condición "anular en el infinito" desaparece, es decir, ${\displaystyle C_{0}(X)}$ corresponde al espacio de funciones continuas en ${\displaystyle X}$. Además en este caso el álgebra ${\displaystyle C_{0}(X)}$ se vuelve unitaria, cuya unidad corresponde a la función

${\displaystyle 1_{X}:X\rightarrow \mathbb {C} }$ tal que ${\displaystyle 1_{X}(x)=1}$ para todo ${\displaystyle x\in X}$

(no confundirse con la función identidad de ${\displaystyle X}$).

Observe que en este caso

${\displaystyle {\text{Inv}}(C_{0}(X))=\left\{f\in C_{0}(X),\,\,f(x)\neq 0\,\,\,\,\forall x\in X\right\}}$,

y si ${\displaystyle f\in {\text{Inv}}(C_{0}(X))}$ entonces ${\displaystyle f^{-1}}$ viene dada por ${\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {1}{f(x)}}}$ para todo ${\displaystyle x\in X}$.

Considere el conjunto finito ${\displaystyle X:=\{1,2,\dots ,n\}}$ con la topología discreta, de este modo no es difícil ver que el álgebra de Banach compleja ${\displaystyle C_{0}(X)}$ corresponde al conjunto ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ donde por ejemplo, la multiplicación es

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\cdot (y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})=(x_{1}y_{1},x_{2}y_{2},\dots ,x_{n}y_{n})}$ con ${\displaystyle x_{1},y_{1},x_{2},y_{2},\dots x_{n},y_{n}\in \mathbb {C} }$,

y el elemento unidad es ${\displaystyle (1,1,\dots ,1)}$. Observe también que la norma del supremo se vuelve en la norma del máximo ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{\text{max}}}$ usualmente utilizada en ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.

El caso ${\displaystyle n=1}$ resulta en las operaciones usuales de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ en donde la norma del supremo se vuelve en el valor absoluto usual de los números complejos.

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ puede construirse de una manera análoga como un álgebra de Banach real.

Con las mismas operaciones y norma expuestas para ${\displaystyle C_{0}(X)}$ es posible generalizar este espacio en el siguiente

${\displaystyle C(X):=\left\{f:X\rightarrow \mathbb {C} ,\,\,f{\text{ es continua y acotada }}\right\}}$

en donde podemos notar que para el caso en que ${\displaystyle X}$ sea compacto se tiene ${\displaystyle C(X)=C_{0}(X)}$. Observe que independiente de la topología de ${\displaystyle X}$, el espacio ${\displaystyle C(X)}$ tendrá unidad (la función constante igual a ${\displaystyle 1}$).

Observe que ${\displaystyle C(X)}$ puede ser bastante más grande que ${\displaystyle C_{0}(X)}$, no sólo posee el elemento neutro en cualquier caso, podemos encontrar en él a las funciones periódicas (de cualquier período), casi periódicas entre otras más. De hecho, si ${\displaystyle \beta X}$ es la compactificación de Stone–Čech de ${\displaystyle X}$, entonces tenemos que ${\displaystyle C(X)}$ y ${\displaystyle C(\beta X)}$ resultan ser isomorfos como álgebras de Banach.

Sea ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ un espacio de Banach y al espacio

${\displaystyle \mathbb {B} ({\mathcal {H}}):=\left\{L:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}},\,\,L{\text{ es lineal y continuo }}\right\}}$,

conocido también como el espacio de operadores acotados de ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. Observe que la aplicación identidad ${\displaystyle {\text{Id}}_{\mathcal {H}}:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}}$ pertenece a ${\displaystyle \mathbb {B} ({\mathcal {H}})}$ (${\displaystyle {\text{Id}}_{\mathcal {H}}(h)=h}$ para todo ${\displaystyle h\in {\mathcal {H}}}$). Las operaciones algebraicas de ${\displaystyle \mathbb {B} ({\mathcal {H}})}$ son las usuales (${\displaystyle L,M\in \mathbb {B} ({\mathcal {H}})}$ y ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$)

• Ponderación: ${\displaystyle \lambda L:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}}$ donde ${\displaystyle (\lambda L)(h)=\lambda L(h)}$ para todo ${\displaystyle h\in {\mathcal {H}}}$.
• Suma: ${\displaystyle L+M:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}}$ donde ${\displaystyle (L+M)(h)=L(h)+M(h)}$ para todo ${\displaystyle h\in {\mathcal {H}}}$.
• Multiplicación: ${\displaystyle L\cdot M:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}}$ donde ${\displaystyle (L\cdot M)(h)=L(M(h))}$ para todo ${\displaystyle h\in {\mathcal {H}}}$.

La norma operatoria ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert }$ de un elemento ${\displaystyle L\in \mathbb {B} ({\mathcal {H}})}$ viene dada por

${\displaystyle \Vert L\Vert$ :=\sup \left\{\Vert L(h)\Vert _{\mathcal {H}},\,\,\Vert h\Vert _{\mathcal {H}}\leq 1\right\}}

donde ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{\mathcal {H}}}$ corresponde a la norma del espacio de Banach ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

Con esta estructura tenemos que ${\displaystyle \mathbb {B} ({\mathcal {H}})}$ es un álgebra de Banach compleja.

Si consideramos al espacio de Banach ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ como el espacio ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ entonces no resulta difícil ver que el álgebra de Banach ${\displaystyle \mathbb {B} ({\mathcal {H}})}$ se vuelve en el conocido ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n,n}(\mathbb {C} )}$, esto es, el espacio de las matrices de tamaño ${\displaystyle n\times n}$ con coeficientes complejos.

Observe que en este caso, el subconjunto ${\displaystyle {\text{Inv}}(\mathbb {B} ({\mathcal {H}}))}$ viene dado por el espacio de las matrices ${\displaystyle n\times n}$ invertibles.

De un modo análogo podemos determinar que ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n,n}(\mathbb {R} )}$ es un álgebra de Banach real.

Una *-álgebra de Banach ${\displaystyle A}$[3] es un álgebra de Banach sobre el cuerpo de los complejos, en conjunto con una involución ${\displaystyle ^{*}:A\rightarrow A}$ satisfaciendo las propiedades para todo ${\displaystyle x,y\in A}$ y ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$

1. Anti-linealidad: ${\displaystyle (x+\lambda y)^{*}=x^{*}+{\overline {\lambda }}y^{*}}$.
2. Contravariante: ${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$.
3. Idempotencia: ${\displaystyle x^{**}=(x^{*})^{*}=x}$.

En otras palabras, una *-álgebra de Banach es un álgebra de Banach sobre ${\displaystyle \mathbb {C} }$ que también es una *-álgebra.

Nota: del mismo modo que en un álgebra de Banach, las *-álgebras de Banach no se restringen solamente al cuerpo de los complejos ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (puede ser extendido a un cuerpo normado completo e involutivo).

Sea ${\displaystyle G}$ un grupo localmente compacto (de Hausdorff) no necesariamente conmutativo con medida de Haar ${\displaystyle \mu }$ (izquierda), sea ${\displaystyle f\in C_{0}(G)}$ (definido anteriormente), definimos el soporte de ${\displaystyle f}$ como

${\displaystyle {\text{supp}}(f):=\left\{x\in G,\,\,f(x)\neq 0\right\}}$,

de este modo podemos definir el subconjunto de ${\displaystyle C_{c}(G)}$ de ${\displaystyle C_{0}(G)}$ como

${\displaystyle C_{c}(G):=\left\{f\in C_{0}(G),\,\,{\text{ supp}}(f){\text{ es compacto}}\right\}}$.

La estructura algebraica de ${\displaystyle C_{c}(G)}$ corresponde a la misma de ${\displaystyle C_{0}(G)}$ con excepción de la multiplicación puntual, para este caso dadas ${\displaystyle f,g\in C_{c}(G)}$ definimos la convolución [4] entre ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ como

${\displaystyle (f\star g)(x):=\int _{G}f(y)g(y^{-1}x)d\mu (y)}$ para todo ${\displaystyle x\in G}$.

Finalmente podemos definir la norma ${\displaystyle L^{1}}$ dada por

${\displaystyle \Vert f\Vert _{L^{1}}:=\int _{G}|f(x)|d\mu (x)}$ para todo ${\displaystyle f\in C_{c}(G)}$.

De este modo definimos el álgebra de Banach ${\displaystyle L^{1}(G)}$ como la completación de ${\displaystyle C_{c}(G)}$ con la norma ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{L^{1}}}$.[5][6]

Considerando el caso ${\displaystyle G=\mathbb {R^{d}} }$, podemos tomar dos medidas de Borel ${\displaystyle \mu }$ y ${\displaystyle \nu }$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ y que además son de variación acotada, la convolución de estas medidas [7] está dada por

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)d(\mu \star \nu )(x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x+y)d\mu (x)d\nu (y)}$, para toda ${\displaystyle f\in C_{c}(\mathbb {R} ^{d})}$.

En particular, para todo conjunto ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{d}}$ medible, tenemos que

${\displaystyle (\mu \star \nu )(A)=\int _{\mathbb {R} ^{d}\times \mathbb {R} ^{d}}1_{A}(x+y)d(\mu \times \nu )(x,y)}$

y la función ${\displaystyle 1_{A}:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow [0,1]}$ corresponde a la función indicatriz.

De este modo podemos construir el álgebra de medidas.

Muchas funciones elementales que son definidas por medio de series de potencias pueden existir en un álgebra de Banach.

Ejemplos de esto incluye a la función exponencial

${\displaystyle {\text{exp}}(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1_{A}+x+{\frac {x\cdot x}{2}}+{\frac {x\cdot x\cdot x}{6}}+\dots }$ para todo ${\displaystyle x\in A}$

y las funciones trigonométricas, a saber

${\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,}$ para todo ${\displaystyle x\in A}$

donde consideramos ${\displaystyle x^{n}:=x\cdot x\cdot \cdots \cdot x}$ (n veces) (y definimos ${\displaystyle x^{0}:=1_{A}}$). Es importante notar que la existencia de algunas funciones está ligada a que el álgebra sea unitaria.

Una propiedad básica de las álgebras de Banach unitarias (de unidad ${\displaystyle 1_{A}}$) corresponde a que si ${\displaystyle x\in A}$ tal que ${\displaystyle \Vert x\Vert _{A}<1}$ entonces se tiene que ${\displaystyle 1_{A}+x}$ será invertible (esto es, existe ${\displaystyle y\in A}$ tal que ${\displaystyle (1_{A}+x)\cdot y=y\cdot (1_{A}+x)=1_{A}}$). La manera clásica de probar este hecho es utilizando la fórmula de la serie geométrica; esta fórmula sigue funcionando en un álgebra de Banach unitaria, a saber

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }(-1)^{n}x^{n}=(1_{A}+x)^{-1}}$ , para todo ${\displaystyle x\in A}$ tal que ${\displaystyle \Vert x\Vert _{A}<1}$.

Otra propiedad importante de la unidad corresponde a que ésta no puede ser un conmutador, es decir, para todo ${\displaystyle x,y\in A}$ se tiene que ${\displaystyle x\cdot y-y\cdot x\neq 1_{A}}$. Una forma de justificar esto corresponde a que los elementos ${\displaystyle x\cdot y}$ e ${\displaystyle y\cdot x}$ tienen el mismo espectro con excepción (no siempre) del ${\displaystyle 0}$.

Sean ${\displaystyle x,y\in A}$, se dice que ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ conmutan si ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x=1_{A}}$. Los elementos que conmutan entre sí cumplen muchas propiedades como por ejemplo el Teorema del binomio

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}}$ para todo ${\displaystyle x,y\in A}$ que conmutan entre sí.

Otro ejemplo ocurre con la función exponencial (definida más arriba para el caso de álgebras de Banach) en donde se tiene que

${\displaystyle {\text{exp}}(x+y)={\text{exp}}(x){\text{exp}}(y)}$para todo ${\displaystyle x,y\in A}$ que conmutan entre sí.

• Toda álgebra de Banach real que también es un álgebra de división es isomorfa a los números reales, complejos o cuaterniones. Por lo tanto, la única álgebra compleja de división que es compleja corresponde a los números complejos. Este resultado se conoce como el Teorema de Gelfand-Mazur.
• Toda álgebra de Banach real unitaria sin divisores de cero, y en la cual todo ideal principal es cerrado, es isomorfa a los números reales, complejos o cuaterniones.[8]
• Toda álgebra de Banach real conmutativa y Noetheriana sin divisores de cero es isomorfa a los números reales o complejos.
• Toda álgebra de Banach real conmutativa y Noetheriana de dimensión finita.
• Divisores topológicos de cero en un álgebra de Banach ${\displaystyle A}$ son permanentemente singulares en cualquier extensión de Banach ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle A}$.

• Rudin, W. Análisis funcional. 1979. Editorial Reverté S.A., impreso en España. ISBN 84-291-5115-X.
• Merklen, Héctor A.: Estructuras algebraicas VII [Estructuras de álgebras] (1983), publicación de la Organización de los Estados Americanos, Washington D.F.

• Nachbin, Leopoldo: Introduçāo à análise funcional: Espaços de Banach e cálculo difrencial (1976) publicación de Estados Americanos, Washington D.F.