Achatamiento

En geometría, el achatamiento (o elipticidad) es la medida de compresión de un círculo o una esfera a lo largo de su diámetro para formar una elipse o un elipsoide de revolución (esferoide). La notación usual para el achatamiento es f y su definición en términos de los semiejes de la elipse o elipsoide resultante es

\mathrm {achatamiento} =f={\frac {a-b}{a}}.

Un círculo de radio a comprimido en una elipse.

Una esfera de radio a comprimida en un esferoide oblato.

El factor de compresión es b/a en cada caso. Para la elipse, este factor es también su relación de aspecto.

Definiciones

Existen dos variantes de achatamiento, para evitar confusiones, se les llama primer achatamiento, segundo achatamiento y tercer achatamiento.[1] [2][3][4][5]

(Primer) achatamiento	$f\,\!$	${\frac {a-b}{a}}\,\!$	Fundamental. El inverso 1/f es la elección normal en un sistema de referencia geodésico.
Segundo achatamiento	$f'\,\!$	${\frac {a-b}{b}}\,\!$	Raramente utilizado.
Tercer achatamiento	$n\quad (f'')\,\!$	${\frac {a-b}{a+b}}\,\!$	Utilizado en cálculos geodésicos como parámetro de expansión pequeño.[6]

Identidades que involucran achatamiento

El achatamiento está relacionado con otras propiedades de la elipse. Por ejemplo:

{\begin{aligned}b&=a(1-f)=a\left({\frac {1-n}{1+n}}\right),\\e^{2}&=2f-f^{2}={\frac {4n}{(1+n)^{2}}}.\\\end{aligned}}

Interpretación planetaria

Véase también: Geoide

Achatamiento polar

Un planeta en rotación tiene una tendencia natural al achatamiento a causa del efecto centrífugo. Matemáticamente, este achatamiento viene dado por:

f={\mbox{ver}}(o\!\varepsilon )=2\operatorname {sen} ^{2}\left({\frac {o\!\varepsilon }{2}}\right)=1-\cos(o\!\varepsilon )={\frac {a-b}{a}}\approx {\frac {15\pi }{4GT^{2}\rho }};\,\!

donde $a\,\!$ y $b\,\!$ son los radios ecuatorial y polar del planeta, respectivamente, y $o\!\varepsilon \,\!$ es la excentricidad angular. La aproximación, válida para el caso de un planeta fluido de densidad uniforme, es una función de la constante de gravitación universal $G$ , del periodo de rotación $T$ y de la densidad $\rho$ .

Valores numéricos planetarios

Véase también: Forma de la Tierra

Para la elipticidad de la Tierra, modelada por el WGS84, los valores definidos son[7]

a (radio ecuatorial): 6.378.137,0 m

1/f (achatamiento inverso): 298,257223563

de donde se deriva

b (radio polar): 6.356.752,3142 m,

de lo que la diferencia entre el semieje mayor y menor es de 21.385 m (esto es solo 0.335% del eje mayor, por lo que una representación de la Tierra en una pantalla de computadora debería ser de 299px por 300px. Dado que sería indistinguible de una esfera de 300px por 300px, las ilustraciones invariablemente deben exageran el achatamiento).

Otros valores en el Sistema Solar son: Júpiter, f=1/16; Saturno, f= 1/10, la Luna f= 1/900. El achatamiento del Sol es menor que 1/1000.

Origen del achatamiento

En 1687 Isaac Newton publicó los Principia, en donde incluye una prueba de que un cuerpo fluido auto-gravitatorio en rotación que se encuentre en equilibrio, toma la forma de un elipsoide oblato de revolución (un esferoide).[8] La cantidad de achatamiento depende de la densidad y el balance entre la fuerza de gravedad y la fuerza centrífuga.

Véase también

Referencias

Maling, Derek Hylton (1992). Coordinate Systems and Map Projections (segunda edición). Pergamon Press. ISBN 9780080372341..
Snyder, John P. (1987). Map Projections – A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395. United States Government Printing Office, Washington, D.C. Versión en línea. Archivado el 1 de mayo de 2011 en Wayback Machine.
Torge, W (2001) Geodesy (3.ª edición), publicado por «de Gruyter», isbn=3-11-017072-8
Osborne, P (2008). The Mercator Projections Capítulo 5.
Rapp, Richard H. (1991). Geometric Geodesy, Part I, Dept. of Geodetic Science and Surveying, Ohio State Univ., Columbus, Ohio.
F. W. Bessel, 1825, Uber die Berechnung der geographischen Langen und Breiten aus geodatischen Vermessungen, Astron.Nachr., 4(86), 241-254, doi:10.1002/asna.201011352, traducido al inglés por C. F. F. Karney y R. E. Deakin como: The calculation of longitude and latitude from geodesic measurements, Astron. Nachr. 331(8), 852-861 (2010), E-print arXiv:0908.1824, http://adsabs.harvard.edu/abs/1825AN......4..241B.
Los parámetros WGS84 se listan en la National Geospatial-Intelligence Agency publication TR8350.2 (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última). pp. 3-1.
Isaac Newton:Principia Libro III Proposición XIX Problema III, p. 407 en la traducción de Andrew Motte, versión en línea.

Datos: Q212750

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[maling-1] Maling, Derek Hylton (1992). Coordinate Systems and Map Projections (segunda edición). Pergamon Press. ISBN 9780080372341..

[snyder-2] Snyder, John P. (1987). Map Projections – A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395. United States Government Printing Office, Washington, D.C. Versión en línea. Archivado el 1 de mayo de 2011 en Wayback Machine.

[torge-3] Torge, W (2001) Geodesy (3.ª edición), publicado por «de Gruyter», isbn=3-11-017072-8

[osborne-4] Osborne, P (2008). The Mercator Projections Capítulo 5.

[rapp-5] Rapp, Richard H. (1991). Geometric Geodesy, Part I, Dept. of Geodetic Science and Surveying, Ohio State Univ., Columbus, Ohio.

[bessel-6] F. W. Bessel, 1825, Uber die Berechnung der geographischen Langen und Breiten aus geodatischen Vermessungen, Astron.Nachr., 4(86), 241-254, doi:10.1002/asna.201011352, traducido al inglés por C. F. F. Karney y R. E. Deakin como: The calculation of longitude and latitude from geodesic measurements, Astron. Nachr. 331(8), 852-861 (2010), E-print arXiv:0908.1824, http://adsabs.harvard.edu/abs/1825AN......4..241B.

[7] Los parámetros WGS84 se listan en la National Geospatial-Intelligence Agency publication TR8350.2 (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última). pp. 3-1.

[newton-8] Isaac Newton:Principia Libro III Proposición XIX Problema III, p. 407 en la traducción de Andrew Motte, versión en línea.