Ley de gravitación universal

Aunque en la ecuación (1) se ha detallado la dependencia del valor de la fuerza gravitatoria para dos cuerpos cualesquiera, existe una forma más general con la que poder describir completamente dicha fuerza, ya que en lugar de darnos únicamente su valor, también podemos encontrar directamente su dirección. Para ello, se convierte dicha ecuación en forma vectorial, para lo cual únicamente hay que tener en cuenta las posiciones donde se localizan ambos cuerpos, referenciados a un sistema de referencia cualquiera. De esta forma, suponiendo que ambos cuerpos se encuentran en las posiciones ${\displaystyle \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}}$, la fuerza (que será un vector ahora) vendrá dada por la siguiente ecuación

(2)${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{\|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\|^{2}}}{\hat {\mathbf {u} }}_{12}=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{\|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\|^{3}}}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}$

donde ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}_{12}}$ es el vector unitario que va del centro de la gravedad del objeto 1 al del objeto 2.

Se ha mencionado anteriormente que dichos cuerpos se pueden tratar como cuerpos puntuales, localizados en el centro de gravedad del cuerpo real, de tal forma que la descripción de esta fuerza se realiza trabajando únicamente con cuerpos puntuales (toda su masa se encuentra concentrada en su centro). Sin embargo, para algunos casos se puede hacer necesario tratar dichos cuerpos como lo que son, cuerpos con una extensión dada, es decir no puntuales. Un ejemplo donde este tratamiento es obligatorio es cuando se desea determinar cómo varía la fuerza de la gravedad a medida que nos situamos en el interior de un objeto, por ejemplo qué gravedad existe en el interior de la Tierra (en la región del manto terrestre o del núcleo).

En estos casos es necesario describir al objeto masivo como una distribución de masa, es decir, describirlo a través de su densidad en cada punto del espacio. Así, se integra la fuerza que produce cada elemento infinitesimal del cuerpo sobre cada elemento del otro objeto, sumando a todos los elementos que existen en el volumen de ambos cuerpos, lo cual matemáticamente se traduce en una integral sobre el volumen de cada cuerpo, de tal forma que la fuerza gravitatoria entre ambos se obtiene como

(3)${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-G\int _{V_{1}}\int _{V_{2}}{\frac {\rho _{1}(\mathbf {r} _{1})\rho _{2}(\mathbf {r} _{2})}{\|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\|^{3}}}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})\ d^{3}\mathbf {r} _{1}d^{3}\mathbf {r} _{2}}$

Donde

${\displaystyle \scriptstyle V_{1},V_{2}}$ son los volúmenes de los dos cuerpos.

${\displaystyle \scriptstyle \rho _{1},\rho _{2}}$ son las densidades de los dos cuerpos en cada punto del espacio (${\displaystyle \scriptstyle r_{1},r_{2}}$).

Puede verse que si se tienen dos cuerpos finitos entonces la fuerza gravitatoria entre ambos viene acotada por:

${\displaystyle G{\frac {m_{1}m_{2}}{d_{\max }^{2}}}\leq \|\mathbf {F} _{12}\|\leq G{\frac {m_{1}m_{2}}{d_{\min }^{2}}}}$

Donde ${\displaystyle \scriptstyle d_{\min },d_{\max }}$ son las distancias mínima y máxima entre los dos cuerpos en un instante dado.

Efecto de la atracción gravitatoria terrestre: animación de una esfera en caída libre desde la Torre de Pisa

Considerando la segunda ley de Newton, que explica que la aceleración que sufre un cuerpo es proporcional a la fuerza ejercida sobre él, estando ambas relacionadas por una constante de proporcionalidad que es precisamente la masa de dicho objeto,

${\displaystyle F=m\cdot g}$

e introduciéndola en la ley de la Gravitación Universal (en su forma más simple, únicamente por simplicidad) se obtiene que la aceleración que sufre un cuerpo debido a la fuerza de la gravedad ejercida por otro de masa ${\displaystyle M}$ es igual a

${\displaystyle g=G{\frac {M}{d^{2}}}}$

donde ${\displaystyle g}$ es la aceleración sufrida.

Es decir, dicha aceleración es independiente de la masa que presente nuestro objeto, únicamente depende de la masa del cuerpo que ejerce la fuerza y de su distancia. Por ello, si se tienen dos cuerpos de diferente masa (por ejemplo la Luna y un satélite artificial, que únicamente tenga una masa de unos pocos kilogramos) a la misma distancia de la Tierra, la aceleración que produce esta sobre ambos es exactamente la misma.

Tal como la aceleración que tiene la misma dirección que la de la fuerza, es decir en la dirección que une ambos cuerpos, esto produce que si sobre ambos cuerpos no se ejerce ninguna otra fuerza externa, estos se moverán describiendo órbitas entre sí, lo cual describe perfectamente el movimiento planetario (o del sistema Tierra-Luna), o de caída libre aproximándose un cuerpo hacia el otro, como ocurre con cualquier objeto que soltemos en el aire y que cae irremediablemente hacia el suelo, en la dirección del centro de la Tierra.

Con esta ley se puede determinar la aceleración de la gravedad que produce un cuerpo cualquiera situado a una distancia dada. Por ejemplo, se deduce que la aceleración de la gravedad que nos encontramos en la superficie terrestre debido a la masa de la Tierra es de ${\displaystyle g\approx 9.81\ {\mbox{m/s}}^{2}}$, que es la aceleración sufrida por un objeto al caer. Y que esta aceleración es prácticamente la misma en el espacio, a la distancia donde se encuentra la Estación Espacial Internacional, ${\displaystyle g\approx 9.32\ {\mbox{m/s}}^{2}}$ (es decir, es un 95 % de la gravedad que tenemos en la superficie, únicamente una diferencia de un 5 %), siendo necesario recordar que el hecho de que los astronautas no sientan la gravedad no es porque esta allí sea nula, sino por su estado de ingravidez (de caída libre continua).

Y la gravedad que ejerce una persona sobre otra, situada a un metro de distancia, es de en torno a ${\displaystyle g\sim 10^{-8}\ {\mbox{m/s}}^{2}}$ (para una persona de unos 100 kg). Este es el hecho por el que no sentimos la gravedad que ejercen cuerpos poco masivos como nosotros.

Continuando con lo que se acaba de mencionar acerca de la aceleración que sufre un cuerpo como consecuencia de la presencia de otro objeto masivo, el hecho de que esta aceleración únicamente dependa de la masa de este objeto masivo muestra que, para dos cuerpos dados de diferente masa, el cuerpo menos masivo será el que sufra una aceleración mayor, y por tanto un cambio de movimiento más pronunciado. Con esto se observa directamente una respuesta a por qué es la Tierra la que órbita en torno al Sol y no al revés, puesto que este último tiene una masa superior a la de la Tierra (unas 330 000 veces superior), haciendo en cambio que el movimiento experimentado por el Sol como consecuencia de la atracción que ejerce la Tierra sobre él sea insignificante. Y de igual modo, es la Luna (cuerpo menos masivo) la que orbita en torno a la Tierra.

Intensidad del campo gravitatorio terrestre (desde la órbita del Shuttle hasta el centro del planeta)

Una de las consecuencias que trae que la gravedad sea una fuerza que depende como la inversa del cuadrado de la distancia es que si se tiene un cuerpo esférico, con una densidad que únicamente va variando a medida que nos alejamos del centro del cuerpo (lo cual podría ser un modelo que describe de forma bastante adecuada a la Tierra), se puede demostrar a través de la ley de Gauss que la fuerza en su interior (a una distancia ${\displaystyle r}$ del centro) únicamente depende de la masa existente dentro de la esfera de radio ${\displaystyle r}$. Es decir, la masa que hay fuera de dicha esfera no produce ninguna fuerza sobre un cuerpo situado en dicho punto. Por ello, dentro del cuerpo la fuerza ya no depende de la inversa cuadrado (puesto que ahora la masa a considerar depende también de dicha distancia) y resulta que es proporcional a dicha distancia. Esto es, en el interior del cuerpo la fuerza de la gravedad va creciendo conforme nos alejamos del centro del cuerpo (en donde esta es nula) hasta llegar a la superficie, donde se hace máxima.

Este razonamiento es válido para esferas homogéneas, es decir, de densidad uniforme. Sin embargo, la Tierra posee un núcleo metálico (el nife) mucho más denso que el manto y la corteza, por lo que la máxima intensidad del campo gravitatorio se produce precisamente en el límite entre el núcleo y el manto.

Una vez alcanzada la superficie exterior, se observa el comportamiento habitual de decrecimiento conforme nos alejamos del cuerpo. Todo esto se puede ver en mayor profundidad en la entrada de la intensidad del campo gravitatorio.

Y por extensión de lo que se acaba de mencionar, en el caso en que se tuviese un cuerpo esférico hueco (es decir que únicamente sería una cáscara esférica), en cualquier punto externo a él sigue produciendo una fuerza de la gravedad de acuerdo con la ecuación (1), es decir como si dicho cuerpo fuese puntual. Sin embargo, al ubicarnos dentro del mismo, observaríamos que no hay fuerza de la gravedad, puesto que en su interior ya no hay masa.

Como se ha mencionado en el apartado histórico, esta ley permite recuperar y explicar la Tercera Ley de Kepler, que muestra de acuerdo a las observaciones que los planetas que se encuentran más alejados del Sol tardan más tiempo en dar una vuelta alrededor de este. Además de esto, con dicha ley y usando las leyes de Newton se describe perfectamente tanto el movimiento planetario del Sistema Solar como el movimiento de los satélites (lunas) o sondas enviadas desde la Tierra. Por ello, esta ley estuvo considerada como una ley fundamental por más de 200 años, y aún hoy sigue estando vigente para la mayoría de los cálculos necesarios que atañen a la gravedad.

Uno de los hechos que muestran su precisión es que al analizar las órbitas de los planetas conocidos en torno a 1800 (cuando todavía quedaban por descubrir Neptuno y Plutón), se observaban irregularidades en torno a la órbita de Urano principalmente, y de Saturno y Júpiter en menor medida, respecto a lo que predecía la ley de Newton (junto con las leyes de Kepler). Por esta razón, algunos astrónomos supusieron que dichas irregularidades eran debidas a la existencia de otro planeta más externo, alejado, que todavía no había sido descubierto. Así, tanto Adams como Le Verrier (de forma independiente) calcularon matemáticamente dónde debería encontrarse dicho planeta desconocido para poder explicar dichas irregularidades. Neptuno fue descubierto al poco tiempo por el astrónomo Galle, el 23 de septiembre de 1846, siguiendo sus indicaciones y encontrándolo a menos de un grado de distancia de la posición predicha.

Cuando un cuerpo describe un movimiento circular su velocidad va cambiando constantemente de dirección, lo que significa que está sometido a una aceleración por no ser constante su velocidad, aunque su módulo o celeridad no cambie. En estas condiciones, la aceleración que experimenta el cuerpo se debe a una fuerza que actúa sobre el y que está dirigida hacia el centro de la trayectoria circular que recibe el nombre de fuerza centrípeta. Si esta fuerza dejase de actuar, el cuerpo abandonaría la trayectoria circular en dirección tangencial a la misma, adquiriendo un movimiento rectilíneo uniforme en ausencia de otras fuerzas.

Si se pone a girar una piedra atada a un cordel, este ejerce una fuerza centrípeta constante para tirar de la piedra acelerándola hacia el centro del círculo. La piedra ejerce sobre el cordel una fuerza igual y opuesta originando una tensión en el cordel que aumentará a medida que sea mayor la velocidad con que gira la piedra. Para calcular el valor de la fuerza centrípeta se usa la ecuación:

${\displaystyle F_{c}={\frac {mv^{2}}{r}}}$
 

Símbolo	Nombre	Unidad
${\displaystyle F_{c}}$	Fuerza centrípeta	N
${\displaystyle m}$	masa del cuerpo que gira	kg
${\displaystyle v}$	Velocidad lineal del cuerpo	m/s
${\displaystyle r}$	radio de la circunferencia	m

La fuerza centrífuga es una fuerza ficticia, percibida por un observador sobre la tierra que es igual en módulo y de sentido opuesto a la aceleración centrípeta de la superficie de la Tierra, por lo que un observador situado sobre el ecuador terrestre percibirá una mayor fuerza centrípeta que en los polos. Esto se debe a que en un punto del ecuador se mueve más rápido que en uno próximo a los polos. Por tanto, cuando la Tierra da una vuelta alrededor de su eje, el punto sobre el ecuador habrá recorrido aproximadamente 40 000 km, que es el valor de la longitud de la circunferencia en el ecuador, mientras que el punto próximo a uno de los polos recorrería una distancia mucho más pequeña (de valor 0 exactamente en cada polo). Debido a ello, la velocidad lineal de un punto sobre el ecuador será mayor que la de un punto cerca de los polos y consecuentemente será mayor también su fuerza centrífuga. Como el efecto de la fuerza centrífuga es un distanciamiento respecto al eje de giro, la fuerza centrífuga percibida por un observador sobre la Tierra equivale a que este vea que dichos cuerpos se alejan del eje de giro, reduciendo el efecto de la fuerza de gravedad de acuerdo con las medidas de dicho observador.

Por esa razón, al medir el peso efectivo de un cuerpo un observador situado cerca de la línea del ecuador medirá un menor peso que uno situado cerca de los polos, toda vez que la aceleración centrífuga medida es menor en los polos, además de encontrarse más cerca del centro de la Tierra debido al achatamiento de sus polos.

Aparte de los problemas prácticos mencionados anteriormente, existían algunos problemas de carácter más filosófico que atañen a la propia teoría en sí. En concreto, uno de ellos era el concepto de acción a distancia que utiliza la teoría. Esto es, en todo momento se ha descrito que dos cuerpos alejados una determinada distancia (y por tanto, no se encuentran en contacto entre sí) se ejercen una fuerza, la fuerza de la gravedad. Sin embargo, sería necesario responder a las preguntas de ¿cómo se ejerce dicha fuerza si ambos cuerpos no se tocan? Esto era una cuestión por resolver, no únicamente de la teoría de Newton, sino que también atañía al electromagnetismo, y que no se sabía cómo afrontar. Por ello, esto dio lugar al concepto físico de campo, que aunque no resolvía completamente el problema, sí facilitaba la utilización de estas fuerzas a distancia y su explicación, y que para la gravedad hizo que se comenzase a trabajar a través de la idea del campo gravitatorio como causante de dicha fuerza de la gravedad.

Posteriormente, este problema quedaría resuelto en la relatividad general, ya que en esta se prescindió de describir la gravedad como una fuerza, pasando a entenderse esta como una consecuencia de que los cuerpos con masa curvan el espacio-tiempo (donde como analogía se podría imaginar el espacio-tiempo como una cama elástica, donde los cuerpos pesados hacen que esta se deforme y por tanto los objetos que pasen por ahí se desvían de sus trayectorias originales).

Otro gran problema que traía consigo esta teoría (y que sirve como uno de los postulados desde los que se desarrolla la relatividad general) es el conocido como principio de equivalencia. Este aboga por el hecho de que en la Teoría de la Gravitación Universal se utiliza una cantidad propia de cada cuerpo que es la que origina la fuerza de la gravedad, su masa. Aunque aquí se ha relacionado directamente con la masa propia de cada cuerpo, esta realmente podría ser definida como una masa gravitacional, en contraposición con la masa utilizada en la segunda ley de Newton, que habla sobre la inercia de los cuerpos, ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$, y que podría ser llamada masa inercial.

En la práctica, no existe ninguna ley, principio o hecho que establezca que ambas masas son, en efecto, la misma masa, como se ha supuesto en toda la descripción realizada (únicamente se conoce que ambas son prácticamente iguales con una gran precisión).^{[cita requerida]} Este hecho que traería una gran importancia, puesto que de no ser las mismas, la aceleración que experimenta un cuerpo dejaría de ser independiente de su masa por ejemplo, no ha podido ser resuelto de una manera efectiva, dando lugar al mencionado principio de equivalencia.^{[cita requerida]}

Isaac Newton en sus Principia menciona como referencias a varios pioneros[2] que incluyen a Bullialdus[3] (quien sugirió, sin demostración, que existía una fuerza desde el Sol y que era proporcional al cuadrado de la distancia), y Borelli[4] (quien sugirió, también sin demostración, que había una tendencia centrífuga en el movimiento de los planetas que estaba siendo contrarrestada por otra fuerza dirigida hacia el Sol). D T Whiteside ha escrito que la inspiración de Newton vino principalmente de Borelli, ya que el primero guardaba una copia del libro del italiano en su biblioteca.[5]

Cuando el primer libro de los Principios de Newton fue expuesto a la Royal Society (la Real Academia de las Ciencias, de Inglaterra), el coetáneo Robert Hooke acusó a Newton de plagio por copiarle la idea de que la gravedad decaía como la inversa del cuadrado de la distancia entre los centros de ambos cuerpos. Aunque esta controversia ha durado incluso hasta nuestros días, no hay datos claros sobre si realmente Newton conocía los trabajos de Hooke o no, ya que aunque ambos se carteaban regularmente, en ninguna de esas cartas Hooke menciona la ley de la inversa del cuadrado, algo que Newton sí hizo con otros autores a los que sí agradeció[2] los trabajos anteriores en los que basó sus ideas. Frente a esta proclama de Hooke de su idea de la inversa del cuadrado, Newton reiteró que dicha idea en ningún caso era exclusivamente de él, sino que fueron varios autores en aquella época los que ya se dieron cuenta de una dependencia de ese tipo, como reflejó en los agradecimientos de su publicación.

Las Leyes de Kepler eran una serie de tres leyes empíricas que describían el movimiento de los planetas deducidas a partir de las observaciones existentes.

Aunque estas leyes describían dichos movimientos, los motivos de por qué estos eran así o qué los causaban, permanecían desconocidos tanto para Kepler como para sus coetáneos. Sin embargo, supusieron un punto de partida para Newton, quien pudo dar una formulación matemática a dichas leyes, lo que junto con sus propios logros condujo a la formulación de la ley de la Gravitación Universal. En especial, a través de dicha ley Newton pudo dar la forma completa a la Tercera ley de Kepler, que describe que los cuadrados de los periodos de las órbitas de los planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias al Sol. Es decir, que los planetas más alejados del Sol tardan más tiempo en dar una vuelta alrededor de este (su año es más largo).

• Landau & Lifshitz: Mecánica, Ed. Reverté, Barcelona, 1991. ISBN 84-291-4081-6.
• H. Pérez Montiel: "Física 2 Enseñanza Media Superior", México D. F., 1994. ISBN 968-439-486-1.