Biálgebra

(B, ∇, η, Δ, ε)  es una biálgebra sobre K si tiene las siguientes propiedades:

• B es un espacio vectorial sobre K;
• existen aplicaciones K-lineales (multiplicación) ∇: B ⊗ B → B (o, equivalentemente, aplicaciones K-multilineales ∇: B × B → B) y una unidad η: K → B, tales que (B, ∇, η) es un álgebra asociativa unitaria;
• existen aplicaciones K-lineales (comultiplicación) Δ: B → B ⊗ B y counidad ε: B → K, tales que (B, Δ, ε) es una coálgebra coasociativa counitaria;
• condiciones de compatibilidad expresadas por los siguientes diagramas conmutativos:

1. Multiplicación ∇ y comultiplicación Δ[1]

   

   donde τ: B ⊗ B → B ⊗ B es la aplicación lineal definida por τ(x ⊗ y) = y ⊗ x para todo x e y en B,

2. Multiplicación ∇ y counidad ε

   

3. Comultiplicación Δ y unidad η[2]

   

4. Unidad η y counidad ε

   

The aplicación K-lineal Δ: B → B ⊗ B es coasociativa si ${\displaystyle (\mathrm {id} _{B}\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} _{B})\circ \Delta }$.

La aplicación K-lineal ε: B → K es una counidad si ${\displaystyle (\mathrm {id} _{B}\otimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{B}=(\epsilon \otimes \mathrm {id} _{B})\circ \Delta }$.

La coasociatividad y la counidad están expresadas por la conmutatividad de los siguientes dos diagramas (que son los duales de los diagramas que expresan asociatividad y unidad en un álgebra).

Los cuatro diagramas conmutativos se pueden leer también como «la comultiplicación y la counidad son homomorfismos de álgebras» o, equivalentemente, «la multiplicación y la unidad son homomorfismos de coálgebras».

Estas afirmaciones toman significado dadas las estructuras naturales de álgebra y coálgebra en todos los espacios vectoriales involucrados ya que B: (K, ∇₀, η₀) es un álgebra asociativa unitaria de forma trivial y (B ⊗ B, ∇₂, η₂) es un álgebra asociativa unitaria con unidad y multiplicación

${\displaystyle \eta _{2}:=(\eta \otimes \eta ):K\otimes K\equiv K\to (B\otimes B)}$

${\displaystyle \nabla _{2}:=(\nabla \otimes \nabla )\circ (id\otimes \tau \otimes id):(B\otimes B)\otimes (B\otimes B)\to (B\otimes B)}$,

de forma que ${\displaystyle \nabla _{2}((x_{1}\otimes x_{2})\otimes (y_{1}\otimes y_{2}))=\nabla (x_{1}\otimes y_{1})\otimes \nabla (x_{2}\otimes y_{2})}$u omitiendo ∇ y escribiendo la multiplicación como yuxtaposición, ${\displaystyle (x_{1}\otimes x_{2})(y_{1}\otimes y_{2})=x_{1}y_{1}\otimes x_{2}y_{2}}$;

análogamente, (K, Δ₀, ε₀) es una coálgebra de forma trivial y B ⊗ B es una coálgebra con counidad y comultiplicación

${\displaystyle \epsilon _{2}:=(\epsilon \otimes \epsilon ):(B\otimes B)\to K\otimes K\equiv K}$

${\displaystyle \Delta _{2}:=(id\otimes \tau \otimes id)\circ (\Delta \otimes \Delta ):(B\otimes B)\to (B\otimes B)\otimes (B\otimes B)}$.

Así, los diagramas 1 y 3 afirman que Δ: B → B ⊗ B es un homomorfismos entre las álgebras asociativas unitarias (B, ∇, η) y (B ⊗ B, ∇₂, η₂)

${\displaystyle \Delta \circ \nabla =\nabla _{2}\circ (\Delta \otimes \Delta ):(B\otimes B)\to (B\otimes B)}$, o simplemente Δ(xy) = Δ(x) Δ(y),

${\displaystyle \Delta \circ \eta =\eta _{2}:K\to (B\otimes B)}$, o simplemente Δ(1_B) = 1_{B ⊗ B};

los diagramas 2 y 4 afirman que ε: B → K es un homomorfismo entre las álgebras asociativas unitarias (B, ∇, η) y (K, ∇₀, η₀):

${\displaystyle \epsilon \circ \nabla =\nabla _{0}\circ (\epsilon \otimes \epsilon ):(B\otimes B)\to K}$, o simplemente ε(xy) = ε(x) ε(y)

${\displaystyle \epsilon \circ \eta =\eta _{0}:K\to K}$, o simplemente ε(1_B) = 1_K.

Equivalentemente, los diagramas 1 y 2 afirman que ∇: B ⊗ B → B es un homomorfismo entre las coálgebras coasiciativas counitarias (B ⊗ B, Δ₂, ε₂) y (B, Δ, ε):

${\displaystyle \nabla \otimes \nabla \circ \Delta _{2}=\Delta \circ \nabla$ :(B\otimes B)\to (B\otimes B),}

${\displaystyle \nabla _{0}\circ \epsilon _{2}=\epsilon \circ \nabla$ :(B\otimes B)\to K} ;

y los diagramas 3 y 4 afirman que η: K → B es un homomorfismo entre las coálgebras coasociativas counitarias (K, Δ₀, ε₀) y (B, Δ, ε):

${\displaystyle \eta _{2}\circ \Delta _{0}=\Delta \circ \eta :K\to (B\otimes B),}$

${\displaystyle \eta _{0}\circ \epsilon _{0}=\epsilon \circ \eta :K\to K}$.

• Cuasi-biálgebra
• Álgebra de Frobenius
• Álgebra de Hopf

• Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras: An introduction, Pure and Applied Mathematics 235 (1st edición), Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9..