Gran círculo

Para demostrar que el arco menor de un círculo máximo es la trayectoria más corta que conecta dos puntos en la superficie de una esfera, se puede utilizar cálculo variacional a la misma.[3]

Si se considera la clase de todas las trayectorias regulares desde un punto ${\displaystyle p}$ hasta otro punto ${\displaystyle q}$. Se utilizan coordenadas esféricas de forma tal que ${\displaystyle p}$ coincide con el polo norte. Toda curva sobre la esfera que no interseca alguno de los polos, excepto posiblemente los puntos finales, se puede parametrizar mediante

${\displaystyle \theta =\theta (t),\quad \phi =\phi (t),\quad a\leq t\leq b}$

si se le permite a ${\displaystyle \phi }$ que tome valores reales arbitrarios. La longitud de arco infinitesimal en estas coordenadas es

${\displaystyle ds=r{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }}\,dt.}$

Por lo que la longitud de una curva ${\displaystyle \gamma }$ desde ${\displaystyle p}$ a ${\displaystyle q}$ es un funcional de la curva dado por

${\displaystyle S[\gamma ]=r\int _{a}^{b}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }}\,dt.}$

Según la ecuación de Euler–Lagrange, ${\displaystyle S[\gamma ]}$ es mínimo si y solo si

${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen} ^{2}\theta \phi '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }}}=C}$,

donde ${\displaystyle C}$ es una constante independiente de ${\displaystyle t}$, y

${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen} \theta \cos \theta \phi '^{2}}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\theta '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }}}.}$

De la primera de estas dos ecuaciones, se obtiene que

${\displaystyle \phi '={\frac {C\theta '}{\operatorname {sen} \theta {\sqrt {\operatorname {sen} ^{2}\theta -C^{2}}}}}}$.

Integrando ambos miembros y considerando la condición de contorno, la solución real de ${\displaystyle C}$ es cero. Por lo tanto, ${\displaystyle \phi '=0}$ y ${\displaystyle \theta }$ pueden tomar cualquier valor entre 0 y ${\displaystyle \theta _{0}}$, lo que indica que la curva debe encontrarse sobre un meridiano de la esfera. En coordenadas cartesianas, se expresa como

${\displaystyle x\operatorname {sen} \phi _{0}-y\cos \phi _{0}=0}$

que es el plano que pasa por el origen, o sea el centro de la esfera.

Algunos ejemplos de grandes círculos en la esfera celeste incluyen el horizonte celeste, el ecuador celeste y la eclíptica. Los círculos máximos también se utilizan como aproximaciones bastante precisas de las geodésicas en la superficie de la Tierra para la navegación aérea o marítima (aunque no es una esfera perfecta), así como en los cuerpos celestes esferoidales.

El ecuador de la Tierra idealizada es un gran círculo y cualquier meridiano y su meridiano opuesto forman un gran círculo. Otro gran círculo es el que divide los hemisferios terrestre y acuático. Un círculo máximo divide la tierra en dos hemisferios y si un círculo máximo pasa por un punto, debe pasar por su punto antípoda.

La transformada de Funk integra una función a lo largo de todos los grandes círculos de la esfera.

• do Carmo, Manfredo Perdigao (1993). Birkhäuser, ed. Riemannian Geometry. ISBN 0-8176-3490-8.
• Katsumi Nomizu (1996). Wiley-Interscience, ed. Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. ISBN 0-471-15733-3.
• O'Neill, Barret (1983). Academic Press,London, ed. Semi-Riemannian Geometry. ISBN 0-12-526740-1. Para el caso semiriemanniano.
• Arellano, Arturo (1993). Geometry Differential.

• Trigonometría esférica
• Ortodrómica
• Meridiano
• Paralelo

• Weisstein, Eric W. «Great Circle». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Um simulador de rotas ortodrómicas Archivado el 13 de marzo de 2011 en Wayback Machine. (en portugués)
• Esfera armilar, un suporte a la Navegación Astronómica (en portugués)
• Esfera armilaresferas Armilares perfeitas - Constrúyala usted mismo Archivado el 27 de octubre de 2020 en Wayback Machine. (en portugués)