Trigonometría esférica

Distancia ortodrómica entre dos puntos a lo largo de un círculo máximo sobre la superficie de una esfera.

La intersección de una esfera con un plano que contenga al centro de dicha esfera genera un círculo máximo y una circunferencia máxima sobre la superficie de la esfera. Un círculo máximo divide a la esfera en dos hemisferios iguales. La distancia entre dos puntos de la superficie de la esfera, unidos por un arco de círculo máximo, es la menor entre ellos y se denomina distancia ortodrómica.

Como ejemplos de círculos máximos en la superficie de la Tierra tenemos los meridianos o la línea del ecuador.

El volumen de una esfera es el volumen de revolución engendrado por un semicírculo que gira alrededor del diámetro. Según esta definición, si su radio es r, su volumen será:

${\displaystyle \!V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

La superficie lateral de un cuerpo de revolución y vendrá dada por:

${\displaystyle \!A=4\pi r^{2}}$

Un dominio de superficie esférica es un recinto o área sobre la superficie de la esfera limitado por curvas contenidas en dicha superficie.

${\displaystyle \alpha \!}$: ángulo formado entre los arcos AC y AB

${\displaystyle \beta \!}$: ángulo formado entre los arcos AB y BC

${\displaystyle \gamma \!}$: ángulo formado entre los arcos AC y BC

${\displaystyle \cos CB=\cos AC\;\cos AB+{\rm {sen}}AC\;{\rm {sen}}AB\;\cos \alpha \!}$

${\displaystyle {\frac {{\rm {sen}}CB}{{\rm {sen}}\alpha }}={\frac {{\rm {sen}}AC}{{\rm {sen}}\beta }}={\frac {{\rm {sen}}AB}{{\rm {sen}}\gamma }}}$

Los senos de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

La fórmula de la cotangente también se denomina fórmula de los elementos consecutivos. Ver en la figura los siguientes elementos consecutivos:

ángulo ${\displaystyle \alpha \!}$; lado ${\displaystyle AB}$; ángulo ${\displaystyle \beta \!}$; lado ${\displaystyle BC}$.

${\displaystyle \cos \beta \cos AB=-{\rm {sen}}\beta \cot \alpha \!+{\rm {sen}}AB\cot CB}$

Cosenos de los elementos medios, es igual a: menos seno del ángulo medio por la cotangente del otro ángulo, más seno del lado medio por la cotangente del otro lado.

Desde las fórmulas de los cosenos, obtenidas en la sección anterior, se pueden obtener de inmediato un conjunto de varias fórmulas conocidas como "relaciones del seno por el coseno" o también denominadas Fórmulas de Bessel, o tercera fórmula de Bessel. Fueron deducidas por primera vez por el matemático alemán Friedrich Wilhelm Bessel.

${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {a}{k}}{\Big )}=\cos {\Big (}{\frac {b}{k}}{\Big )}*\cos {\Big (}{\frac {c}{k}}{\Big )}+\operatorname {sen} {\Big (}{\frac {b}{k}}{\Big )}*\operatorname {sen} {\Big (}{\frac {c}{k}}{\Big )}*\cos A}$

${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {b}{k}}{\Big )}=\cos {\Big (}{\frac {c}{k}}{\Big )}*\cos {\Big (}{\frac {a}{k}}{\Big )}+\operatorname {sen} {\Big (}{\frac {c}{k}}{\Big )}*\operatorname {sen} {\Big (}{\frac {a}{k}}{\Big )}*\cos B}$

${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {c}{k}}{\Big )}=\cos {\Big (}{\frac {a}{k}}{\Big )}*\cos {\Big (}{\frac {b}{k}}{\Big )}+\operatorname {sen} {\Big (}{\frac {a}{k}}{\Big )}*\operatorname {sen} {\Big (}{\frac {b}{k}}{\Big )}*\cos C}$

El conjunto de las fórmulas de Bessel puede escribirse, para la esfera de radio unidad, esto es, la esfera trigonométrica, de la forma:

${\displaystyle \operatorname {sen} c*\cos B=\cos b*\operatorname {sen} a-\cos a*\operatorname {sen} b*\cos C}$

${\displaystyle \operatorname {sen} c*\cos A=\cos a*\operatorname {sen} b-\cos b*\operatorname {sen} a*\cos C}$

${\displaystyle \operatorname {sen} b*\cos A=\cos a*\operatorname {sen} c-\cos c*\operatorname {sen} a*\cos B}$

${\displaystyle \operatorname {sen} b*\cos C=\cos c*\operatorname {sen} a-\cos a*\operatorname {sen} c*\cos B}$

${\displaystyle \operatorname {sen} a*\cos B=\cos b*\operatorname {sen} c-\cos c*\operatorname {sen} b*\cos A}$

${\displaystyle \operatorname {sen} a*\cos C=\cos c*\operatorname {sen} b-\cos b*\operatorname {sen} c*\cos A}$

El conjunto de las fórmulas del seno, del coseno (llamadas por algunos segunda y primera fórmula de Bessel), y la (tercera) fórmula de Bessel, pueden expresarse de forma matricial:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\cos(a)\\\operatorname {sen}(a)\operatorname {sen}(B)\\\operatorname {sen}(a)\cos(B)\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos(c)&0&\operatorname {sen}(c)\\0&1&0\\\operatorname {sen}(c)&0&-\cos(c)\end{vmatrix}}.{\begin{vmatrix}\cos(b)\\\operatorname {sen}(b)\operatorname {sen}(A)\\\operatorname {sen}(b)\cos(A)\end{vmatrix}}}$

siendo a, b y c los lados; y A, B y C los ángulos del triángulo esférico.

Al triángulo esférico, con al menos un ángulo recto, se denomina triángulo rectángulo. En un triángulo esférico sus tres ángulos pueden ser rectos, en tal caso su suma es 270°. En todos los otros casos esa suma excede los 180° y a ese exceso se nombra exceso esférico; que se simboliza con E, expresada mediante la fórmula: E = ${\displaystyle \alpha \!}$+${\displaystyle \beta \!}$+${\displaystyle \gamma \!}$ − 180°.

Una proposición afirma que cualquier triángulo esférico puede descomponerse en dos triángulos esféricos rectángulos.