Cuerpo cuadrático

Un campo cuadrático es uno de la forma ${\displaystyle Q(\xi )}$ donde ξ es una raíz de un polinomio cuadrático irreducible sobre ℚ. Todos los elementos de tal campo son números de la forma ${\displaystyle c+d\xi ,c,d\in Q}$.

Por otro lado si k y l son enteros racionales diferentes libres de cuadrados, ninguno de ellos vale 1, entonces ${\displaystyle Q({\sqrt {k}})\neq Q({\sqrt {l}})}$ , puesto que ${\displaystyle {\sqrt {k}}}$ no está en ${\displaystyle Q({\sqrt {l}})}$. Pues es imposible que existan dos números racionales m y n que satisfagan la igualdad ${\displaystyle {\sqrt {k}}=m+n{\sqrt {l}}}$ [1]

Dado un cuerpo cuadrático ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$, donde d es un entero libre de cuadrados, los enteros cuadráticos son números que tienen la forma a + ωb, donde a, b son enteros, y donde ω está definido mediante:

${\displaystyle \omega ={\begin{cases}{\sqrt {d}}&{\mbox{si }}d\equiv 2,3{\pmod {4}}\\{{1+{\sqrt {d}}} \over 2}&{\mbox{si }}d\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}}$

El anillo de enteros cuadráticos Z[ω] = {a + ωb : a, b ∈ Z} es un subanillo del cuerpo cuadrático ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$. Por otra parte, Z[ω] es la clausura integral de Z en ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$. En otras palabras, es el anillo de enteros ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}}$ de ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$ y por lo tanto un dominio de Dedekind.

El discriminante de un cuerpo cuadrático Q(√d) es d si d es congruente con 1 módulo 4, y 4d de otra manera. Por ejemplo, cuando d es −1 siendo K es un cuerpo de los así llamados racionales gaussianos, el discriminante es −4. La razón de estos está relacionada con la teoría general de números algebraicos. El anillo de enteros de K se extiende por 1 y la raíz cuadrada de d únicamente en el segundo caso, y en el primer caso hay enteros tales que se encuentran en la mitad de los 'puntos de red' (por ejemplo, cuando d = −3, esos son los enteros de Eiseinstein, dados por la raíz cúbica compleja de la unidad).

El conjunto de discriminantes de cuerpos cuadráticos es exactamente el conjunto de discriminantes fundamentales.

Cualquier número primo p dado se convierte en un ideal pO_K en el anillo de enteros O_K de un cuerpo cuadrático K. De acuerdo con la teoría general de descomposición de ideales primos en extensiones de Galois, este puede ser

p es inerte

(p) es un ideal primo

El anillo cociente es el cuerpo finito con p² elementos: O_K/pO_K = F_p²

p se descompone

(p) es un producto de dos ideales primos distintos de O_K.

El anillo cociente es el producto O_K/pO_K = F_p × F_p.

p se ramifica

(p) es el cuadrado de un ideal primo de O_K.

El anillo cociente contiene elementos distintos de cero nilpotentes.

El tercer caso sucede si y sólo si p divide el discriminante D. El primer y segundo caso ocurren cuando el símbolo de Kronecker (D/p) es igual a −1 and +1, respectivamente. Por ejemplo, si p es un número primo que no divide a D, entonces p se descompone si y sólo si D es congruente con un cuadrado módulo p. Los dos primeros casos son en un cierto sentido equivalentes a la posibilidad de que ocurra como p sigue a través de los primos, véase teorema de densidad de Chebotarev.[2]

La ley de reciprocidad cuadrática implica que el comportamiento de descomposición de un primo p en un cuerpo cuadrático depende únicamente de p módulo D, donde D es el discriminante del cuerpo.

• Problema del número de clases
• Teorema de Stark–Heegner
• Número de Heegner
• Irracional cuadrático
• Entero cuadrático

• Duncan Buell (1989). Binary quadratic forms: classical theory and modern computations. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97037-1. Chapter 6.
• Pierre Samuel (1972). Algebraic number theory. Hermann/Kershaw.
• I.N. Stewart; D.O. Tall (1979). Algebraic number theory. Chapman and Hall. ISBN 0-412-13840-9. La referencia utiliza el parámetro obsoleto |coautor= (ayuda) Chapter 3.1.

• Weisstein, Eric W. «Quadratic Field». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Quadratic field», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.