Cuerpo finito

El cuerpo finito más pequeño se denota por ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$. Consta de dos elementos distintos: ${\displaystyle 0}$, que es el elemento neutro de la adición, y ${\displaystyle 1}$, que es el elemento neutro de la multiplicación. Esto determina las tablas de las dos operaciones excepto ${\displaystyle 1+1}$, que tiene que ser ${\displaystyle 0}$, pues ${\displaystyle 1}$ debe tener un elemento opuesto (en este caso será el mismo ${\displaystyle 1}$). Verificamos que definen bien un cuerpo que es, de hecho, conmutativo.

El cuerpo ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ se puede interpretar de diversas maneras. Es el anillo ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$, los enteros tomados módulo 2; es decir, que 0 representa los enteros pares, 1 los enteros impares y las operaciones se deducen de las de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Es también el conjunto de valores de verdad clásicos: 0 para falso y 1 para verdadero. La adición es el "o exclusivo" y la multiplicación, el "y".

Las apliaciones de ${\displaystyle \left(\mathbb {F} _{2}\right)^{n}}$ en ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ se llaman funciones booleanas en honor a George Boole. La disjunción (inclusiva) y la negación se definen respectivamente como:

${\displaystyle \lor \colon \left(\mathbb {F} _{2}\right)^{2}\longrightarrow \mathbb {F} _{2}\,;\quad (x,y)\longmapsto x\lor y:=x+y+xy}$

${\displaystyle \neg \colon \mathbb {F} _{2}\longrightarrow \mathbb {F} _{2}\,;\quad x\longmapsto \neg x:=1+x}$

Más generalmente se deduce del teorema de interpolación de Lagrange que todas las funciones booleanas son polinómicas (es de hecho una propiedad que se hereda a cualquier cuerpo finito).

Una generalización natural de ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ es, para ${\displaystyle p}$ primo, el cuerpo ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$, que se denota igualmente ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$.

Proposición: El anillo ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ es un cuerpo si y sólo si ${\displaystyle p}$ es un número primo.

En efecto, que ${\displaystyle p}$ sea primo equivale a que 0 no sea producto de dos enteros no nulos módulo ${\displaystyle p}$, por el lema de Euclides. Es necesario pues que ${\displaystyle p}$ sea primo para que ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ sea un cuerpo, porque si no habría divisores de cero. Además, si ${\displaystyle p}$ es primo, ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ es un anillo íntegro y por tanto, como es finito, es un cuerpo. La identidad de Bézout asegura directamente la existencia de un inverso ${\displaystyle s}$ para todos los elementos, y un cálculo eficaz del mismo mediante el algoritmo de Euclides extendido: ${\displaystyle \operatorname {mcd} (a,p){\overset {p{\text{ primo}}}{=}}1{\overset {\text{Bézout}}{\Rightarrow }}\exists s,t\in \mathbb {Z} :as+pt=1\Rightarrow as=1\mod p\Rightarrow s=a^{-1}{\text{ en }}\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

Por tanto, también es suficiente. ${\displaystyle \quad \square }$

Así podemos construir cuerpos finitos con cardinalidad cualquier número primo.

El grupo multiplicativo de ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ (con ${\displaystyle p}$ primo) es de orden ${\displaystyle p-1}$, lo que conduce al pequeño teorema de Fermat mediante el teorema de Lagrange. Además, este grupo es cíclico, como se demuestra más adelante en un caso más general.

Para construir nuevos cuerpos finitos, utilizamos la estructura de anillo euclideo de ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[x]}$ (por ser ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ un cuerpo, como hemos visto en el párrafo anterior) de la misma forma que hemos utilizado la de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ para construir los cuerposfinitos primos. Los polinomios irreducibles juegan aquí el papel de los números primos allí. Dos polinomios son equivalentes módulo un polinomio ${\displaystyle P}$ si se obtiene el mismo resto para al hacer la división por ${\displaystyle P}$. El cociente por esta relación de equivalencia se denota ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[x]/(P)}$ y la estructura inducida por el cociente es también la de anillo.

De manera totalmente análoga al caso anterior tenemos que:

Proposición: El anillo ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[x]/(P)}$ es un cuerpo si y sólo si ${\displaystyle P}$ es un polinomio irreducible.${\displaystyle \quad \square }$

Sea ${\displaystyle n}$ el grado de ${\displaystyle P}$. Tomando un polinomio cualquiera de ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[x]}$, al dividirlo por ${\displaystyle P}$, obtenemos un único resto de grado ${\displaystyle <n}$. Por tanto, para cada clase de equivalencia por la relación antes descrita se puede tomar un único representante de grado ${\displaystyle <n}$ y, así, cada elemento de ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[x]/(P)}$ puede ser representado por un único polinomio de grado ${\displaystyle <n}$. El cardinal de ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[x]/(P)}$ es por tanto el número de polinomios de ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[x]}$ de grado ${\displaystyle <n}$. Como hay ${\displaystyle n}$ coeficientes que determinar, cada uno en ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$, y ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ tiene ${\displaystyle p}$ elementos, el cardinal de ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[x]/(P)}$ es ${\displaystyle p^{n}}$.

Para construir un cuerpo finito de cardinal ${\displaystyle p^{n}}$ es suficiente, por tanto, encontrar un polinomio irreducible de grado ${\displaystyle n}$ en ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[x]}$.

Podemos, por el párrafo anterior, construir cuerpos con ${\displaystyle p^{2}}$ elementos demostrando que existe un polinomio irreducible ${\displaystyle P}$ de grado ${\displaystyle 2}$ en ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[x]}$. El cuerpo ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[x]/(P)}$ tiene entonces ${\displaystyle p^{2}}$ y es una extensión cuadrática de ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$. Se verá más adelante que el cuerpo con ${\displaystyle p^{2}}$ elementos es único salvo isomorfismo y se denotará ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{2}}}$. En particular, el cuerpo que vamos a construir es independiente de la elección del polinomio irreducible ${\displaystyle P}$ de grado ${\displaystyle 2}$ para el cociente. Esta extensión cuadrática de ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ es la análoga de la (única) extensión cuadrática del cuerpo de los números reales, que da lugar a los números complejos.

• Para ${\displaystyle p=2}$, el polinomio ${\displaystyle 1+x+x^{2}}$ es irreducible en ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}[x]}$. La extensión correspondiente es un cuerpo ${\displaystyle \mathbb {F} _{4}:=\mathbb {F} _{2}[x]/(1+x+x^{2})}$ con cuatro elementos: 0, 1 y las dos raíces ${\displaystyle \varphi }$ y ${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1}$ de ${\displaystyle 1+x+x^{2}}$. Sus tablas son, por tanto:

• Cuando ${\displaystyle p}$ es impar, un polinomio de la forma ${\displaystyle x^{2}-a}$ es irreducible si y sólo si ${\displaystyle a}$ no es un cuadrado. Además, para ${\displaystyle p}$ diferente de 2, existen en ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ elementos no cuadrados. En efecto, los cuadrados de los ${\displaystyle p-1}$ elementos no nulos de ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ son exactamente ${\displaystyle {\frac {p-1}{2}}}$, pues cada cuadrado no nulos es el cuadrado de exactamente dos elementos, uno el opuesto del otro. Por tanto, quedan otros ${\displaystyle {\frac {p-1}{2}}}$ no cuadrados, entre los cuales se puede tomar ${\displaystyle a}$. Así, siempre se podrá tomar el polinomio irreducible deseado y construir el cuerpo de ${\displaystyle p^{2}}$ elementos.

Sea F[7] el conjunto de los enteros módulo 7 bajo la adición y multiplicación módulo 7. Es decir, los elementos de F[7] son las clases de equivalencia representadas por los elementos [0], [1], [2], [3], [4], [5] y [6] donde:

• [a] + [b] = [j], siendo [j] el resto de la división de (a + b)/7 ( por ejemplo [5] + [6] = [4], puesto que 5+6=11, que dividido por 7, da resto 4).
• [a] x [b] = [k] donde [k] es el resto de la división de (a x b)/7 (Por ejemplo, [5] x [6] = [2], puesto que 5 x 6 = 30 y 30 entre 7, da como resto 2).

Se verifica que F[7] es un anillo conmutativo con elemento unitario [1]. Además se cumple:

• [1] x [1] = [1] = [6] x [6].
• [2] x [4] = [1] = [4] x [2].
• [3] x [5] = [1] = [5] x [3].

Los elementos de F[7] distintos de cero forman un grupo abeliano bajo la multiplicación. F[7] es, pues, un campo. Puesto que tiene un número finito de elementos es un campo finito.

Cociente

Sean a y b ≠ 0, elementos de F'[7], diremos que a÷b = c s.s.s. a = b×c

Como ejemplo 5÷3= 5×3^-1 =4, pues 3×4= 5.

Potencia

1. Para todo a≠0; a⁰ =1
2. a^h+1 = a^ha ; h está en ℤ

Ejemplo 2²= 2¹×2 = 2×2 = 4

Raíz cuadrada

sea a elemento de F'[7], diremos que b, si existe, es la raíz cuadrada de a si a = b²

Ejemplo ${\displaystyle {\sqrt {2}}=3\lor 4}$, pues 3² = 2 o 4² = 2; sólo tienen sendas raíces 1, 2 y 4[4]

El cuerpo F[2²] se construye como el anillo cociente entre el anillo de polinomios con coeficientes en F[2] sobre el ideal generado por un polinomio irreducible, por ejemplo, f(x) = x² + x + 1.

${\displaystyle F[4]=F_{2}[X]/\langle x^{2}+x+1\rangle }$

El cuerpo F₄ puede representarse como el conjunto ${\displaystyle \{0,1,\alpha ,\alpha +1\}}$ donde la suma y la multiplicación quedan definidas considerando que ${\displaystyle \alpha ^{2}+\alpha +1=0}$. Por ejemplo, para hallar

${\displaystyle (\alpha )(\alpha +1)=(\alpha ^{2}+\alpha )=(\alpha ^{2}+\alpha +1)+1=1\ }$ (ya que 1 + 1 = 0 en F₂)

Para encontrar un inverso multiplicativo de ${\displaystyle \alpha }$ en este campo, se debe encontrar un polinomio ${\displaystyle g(\alpha )}$ tal que ${\displaystyle \alpha \times g(\alpha )=1\ mod\ (\alpha ^{2}+\alpha +1)}$; el polinomio ${\displaystyle g(\alpha )=\alpha +1}$ cumple esta propiedad, de modo que es el inverso de ${\displaystyle \alpha }$.

Obsérvese que el campo F₄ no tiene relación con el anillo Z₄ de enteros módulo 4.

Para construir el campo F[3³], se comienza con el polinomio irreducible (en F₃) x³ + x² + x - 1. Se tiene entonces

${\displaystyle F[3^{3}]=F_{3}[X]/\langle x^{3}+x^{2}+x-1\rangle }$

De modo equivalente, F[3³] = {ax² + bx + c | a, b, c ∈ F₃}, donde la multiplicación se define considerando que x³ + x² + x - 1 = 0.

Las matrices ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{0}&b_{0}\\-b_{0}&a_{0}\end{pmatrix}}}$ con a₀ y b₀ elementos de Z₃ forman un campo de 9 elementos, y el grupo multiplicativo de este campo, es cíclico, de orden 8. Es por tanto isomorfo a F[3²].

Dado un cuerpo ${\displaystyle F_{q}}$, su grupo multiplicativo ${\displaystyle F_{q}^{\times }}$ es un grupo cíclico de orden q-1.[5]

Demostración[6]

La demostración se obtiene probando que todo subgrupo de ${\displaystyle F_{q}^{\times }}$ es cíclico. Sea G uno de tales subgrupos, de orden ${\displaystyle p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}...p_{k}^{e_{k}}}$. Por el teorema fundamental de grupos finitos abelianos, ${\displaystyle G\cong Z_{p_{1}^{e_{1}}}\otimes Z_{p_{2}^{e_{2}}}\otimes ...\otimes Z_{p_{k}^{e_{k}}}}$ Sea m el mínimo común múltiplo de ${\displaystyle p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}...p_{k}^{e_{k}}}$ Dado que todo ${\displaystyle x\in G}$ satisface ${\displaystyle x^{r}-1=0}$ para algún r que divide a m, entonces satisface ${\displaystyle x^{m}-1=0}$ Puesto que ${\displaystyle x^{m}-1=0}$ tiene como máximo m raíces en F, entonces ${\displaystyle n\leqslant m}$. Por otro lado ${\displaystyle m\leqslant |G|}$, por lo que ${\displaystyle m=n}$ Por tanto G contiene un elemento de orden n por lo que es cíclico.

Esto significa que si F es un campo finito de q elementos, siempre hay al menos un elemento x ∈ F tal que F = { 0, 1, x, x²,..., x^q-2 }. Los elementos x que cumplen esta condición reciben el nombre de elementos primitivos y el número de ellos viene dado por ${\displaystyle \varphi (q-1)}$, donde ${\displaystyle \varphi }$ es la función indicatriz de Euler.

Dado un elemento primitivo x, entonces para todo a ≠ 0 en F hay un único n ∈ {0,..., q - 2} tal que a = xⁿ. El valor de n para un dado a se llama logaritmo discreto de a en base x. En la práctica, aunque calcular xⁿ es relativamente trivial dado n, encontrar n para un a dado es un problema difícil, por lo que resulta de interés en criptografía.[7]

El cuerpo ${\displaystyle F_{q}}$ (donde q=p^m) contiene una copia de ${\displaystyle F_{q'}}$ (donde q'=pⁿ) si y solo si n divide a m. En esta situación, ${\displaystyle F_{q'}}$ es un subcuerpo de ${\displaystyle F_{q}}$, y ${\displaystyle F_{q}}$ es una extensión de ${\displaystyle F_{q'}}$. La razón para la dirección "si" es que hay polinomios irreducibles de cualquier grado en F_p^m.

Demostración

Es inmediato que ${\displaystyle \qquad [F_{q}:F_{p}]=m\qquad }$, y que ${\displaystyle \qquad [F_{q'}:F_{p}]=n}$ No es posible que ${\displaystyle \qquad F_{P}\subset F_{q'}\subset F_{q}\qquad }$ a no ser que n divida a m. Suponiendo entonces que m = n k y substituyendo ${\displaystyle \qquad y=p^{n}\qquad }$ en la ecuación ${\displaystyle y^{m}-1=(y-1)\cdot (y^{m-1}+...+y+1)\qquad }$ se obtiene que q'-1 divide a q-1. Puesto que el grupo multiplicativo ${\displaystyle F_{q}^{\times }}$ es cíclico de orden q-1, y q'-1 divide a q-1 Existe ${\displaystyle \beta \in F_{q}^{\times }:\beta ^{q'-1}=1\qquad }$, cuyas potencias q'-1 satisfacen ${\displaystyle x^{q'-1}-1=0}$ Por tanto, ${\displaystyle \qquad x^{q'}-x\qquad }$ descompone completamente a ${\displaystyle F_{q}}$, y sus raíces forman un cuerpo de orden q'.

Si se construyen los campos finitos de forma tal que F_pⁿ esté efectivamente contenido en F_p^m siempre que n divida a m, se puede tomar la unión de todos esos campos; ésta es también un campo de característica p, aunque infinito. Es la clausura algebraica de cada uno de los campos F_pⁿ. Aun si no se construyen de esta manera los campos, se puede hablar de su clausura algebraica, aunque su construcción es ahora más delicada.

El teorema de Wedderburn, en ocasiones llamado pequeño teorema de Wedderburn para distinguirlo del teorema de Artin-Wedderburn, establece que todo dominio finito es un cuerpo. Por tanto, en lo que se refiere a los anillos finitos, no hay distinción entre dominios, anillos de división y cuerpos.[8] Este teorema es equivalente a afirmar que el grupo de Brauer de todo cuerpo finito es trivial.

El teorema fue demostrado por Joseph Wedderburn en 1905, lo que supuso un avance en el ámbito de los anillos conmutativos.[9]

La función

${\displaystyle f:F_{q}\to F_{q}\quad }$

definida por

${\displaystyle \quad f(x):=x^{p}\quad }$, donde ${\displaystyle \quad q=p^{n}}$

es biyectiva y un endomorfismo, con lo cual es un automorfismo de F. Es un caso particular de un tipo de homomorfismo llamado endomorfismo de Frobenius, en honor a Ferdinand Georg Frobenius. El hecho de que el mapa f sea sobreyectivo implica que todo campo finito es perfecto.

El automorfismo de Frobenius tiene orden n, y por lo tanto el grupo cíclico generado por este es el grupo completo de automorfismos del cuerpo.

• Judson, Thomas W. (2012). Abstract Algebra. Theory and Applications (pdf). disponible online bajo licencia GFDL.
• Artin, Michael (2011). Algebra (2ª edición). Pearson Education. ISBN 978-0132413770.
• Birkhoff, Garrett; Mac Lane, Saunders (1999). Algebra (3ª edición). AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0821816462.
• Herstein, I. N. (1970). Algebra Moderna. México, D.F.: Trillas.